数学的第一次危机及其实质（数学史上的三次危机及与无穷的关系）

在数学的发展史上，大大小小的矛盾出现过很多，但很少能威胁到整个数学基础理论，甚至引起危机。即便是千百年来人们对欧几里得几何公理第五公设的疑惑，也不曾造成数学上的危机，且最终成就了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。数学史上共出现三次数学危机，每次都是由于悖论的发现而深刻和广泛的影响了数学基础，引发了数学上的思想解放，从而推动了数学的发展。

三次数学危机涉及到连续性与离散性以及无穷等数学上的一些根本性问题。

1 无理数与芝诺悖论

1.1 出现

毕达哥拉斯认为“一切数均可表示成整数或整数之比”，也就是说，一切数均可用有理数表示。

希帕索斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即2的2次方根）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示。

芝诺悖论也挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。

不可公度性的发现和芝诺悖论引起了希腊数学的危机。

1.2 影响

1.2.1 由于古希腊人不能掌握无理数概念，限制了算术和代数，使得数学研究转向几何（用几何的方法来处理不可公度比）。

1.2.2 古希腊人在解决危机的过程中，把数和量区分开来，分而治之的策略使得算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展。

1.2.3 经过数学危机的洗礼，古希腊人认识到：直觉、经验是不可靠的，推理论证才是可靠的。这种转变导致了公理几何学与逻辑学的诞生。

1.3 解决

德国数学家戴德金（Dedekind，1831-1916）在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术的定义。

“戴德金分割”认为，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。

约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus，约公元前408—前355)纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。 他处理不可公度的办法，被欧几里得《 几何原本 》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。

在几何学中引进不可通约量概念，两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

2 微积分和无穷小

2.1 出现

十七世纪牛顿、莱布尼兹分别独立创立了微积分理论，两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的（在无穷小是0还是非0的问题上纠缠不清）。

英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：

2.2 解决

法国数学家柯西（1789-1857）用极限的方法定义了无穷小量。

无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量。

德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)建立了实数系，创建了精确的ε-δ语言（用来精确描述极限）。

建立数学分析（或者说微积分）的基础的“逻辑顺序”应该是：实数理论→极限理论→微积分。

而“历史顺序”正相反。

3 集合论与罗素悖论

3.1 出现

到19世纪，数学从各方面走向成熟。

非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；

实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；

群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。

人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？

正在这时，19世纪末，集合论出现了。康托尔创立了著名的集合论（集合三个特点：确定性、互异性、无序性）。

人们感觉到集合论有可能成为整个数学的基础。其理由是：

算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。

同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合”。

几何的对象可以说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了，集合成为了更基础的概念。

因而集合论成为现代数学的基石。

1903年，英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？

罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。

理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。

当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。

承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。

3.2 解决

为摆脱这一空前的危机，数学家主要考虑了两条路径：一是抛弃整个集合论，把数学建立在新的理论基础之上；另一条途径是改造康托尔的集合理论，引进新的理论体系。

经过探索，数学们选择了改造康托尔的集合理论。

这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的（没有明确对于已知集合，哪些操作是合法的），这就留下了解决问题的余地。

通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”

罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。

1908年策梅洛(Zermelo)提出了比较完整的公理，这些公理指明了对集合的哪些操作是合法的。后经过弗兰克尔（Fraenkel）的完善和补充，形成了ZF公理系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。

除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。

20世纪的伟大数学家哥德尔证明了哥德尔不完备性定理，该定理无论是在数学史上，还是在逻辑学发展史上都是一个里程碑。

哥德尔不完备性定理的内容是：包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完备的。

具体地讲，包括算术在内的任何一个形式系统L，如果L是协调的，那么在L内总存在不能判定的逻辑命题，即L中存在逻辑公式A与非A，在L内不能证明它们的真假。

哥德尔定理的意义在于，包括数学在内的任何一个科学体系都不能用一个完备的系统概括起来。

尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

4 三次危机与无穷的关系

第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。

第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。

第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。

以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而髙等数学则是经常与无穷打交道的。

－End－

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