ap微积分基础教程（AP考试万金油）

近几年，越来越多的亚洲学生选择AP考试，由于亚洲学生良好的数学运算能力，所以考生们都会选择一门AP微积分AB或BC来突显自己的学术能力。

小编之前也和大家说过，美国大学喜欢综合发展的学生，本着“文理兼备”的原则，微积分可以说是AP考试中的“万金油”，无论学文学理都适用。且STEM和商科领域的火热也让AP微积分成为最受学生欢迎的AP考试之一。

题型分布

AP微积分共分两个模块，每个部分又分为A和B两个部分，考试时间为195分钟。

第一部分：

• 选择题Part A，30道题60分钟内完成；
• 选择题Part B，15道题45分钟内完成，需要计算器。

第二部分：

• 自由问答题Part A，2道题30分钟内完成；
• 自由问答题Part B，4道题60分钟内完成，需要计算器。

考试内容

AP微积分考试分为AB和BC两个层次，AP微积分BC的内容和难度都高于AB的考试，AP微积分AB的内容大概占BC内容的70%。

所考内容大概包含5部分，分别为函数、极限和连续，导数和导数的应用，不定积分、定积分及其应用，微分方程和无穷级数。其中只要涉及参数方程、极坐标、数列和级数等只有BC考，AB不考。

A．Function函数

（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）

（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）

（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）

（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）

（5）复合函数，反函数

*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数

（7）函数图像平移和变换

B．Limit and Continuity极限和连续

（1）极限的定义和左右极限

（2）极限的运算法则和有理函数求极限

（3）两个重要的极限

（4）极限的应用-求渐近线

（5）连续的定义

（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）

（7）最值定理、介值定理和零值定理

C．Derivative导数

（1）导数的定义、几何意义和单侧导数

（2）极限、连续和可导的关系

（3）导数的求导法则（共21个）

（4）复合函数求导

（5）高阶导数

（6）隐函数求导数和高阶导数

（7）反函数求导数

*（8）参数函数求导数和极坐标求导数

D．Application ofDerivative导数的应用

（1）微分中值定理（D-MVT）

（2）几何应用-切线和法线和相对变化率

（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）

（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性

*（5）洛比达法则求极限

（6）微分和线性估计，四种估计求近似值

（7）欧拉法则求近似值

E．Indefinite Integral不定积分

（1）不定积分和导数的关系

（2）不定积分的公式（18个）

（3）U换元法求不定积分

*（4）分部积分法求不定积分

*（5）待定系数法求不定积分

F．Definite Integral 定积分

（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义

（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质

*（3）Accumulation function求导数

*（4）反常函数求积分

H．Application ofIntegral定积分的应用

（1）积分中值定理（I-MVT）

（2）定积分求面积、极坐标求面积

（3）定积分求体积，横截面体积

（4）求弧长

（5）定积分的物理应用

I．Differential Equation微分方程

（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程

（2）斜率场

*J．Infinite Series无穷级数

（1）无穷级数的定义和数列的级数

（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法

（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数

（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数

（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差

注：*为BC考察部分

考试建议

对于中国学生，微积分可以说是最简单的AP课程之一，虽然BC考试内容更多更难，但是考试君还是建议大家报考微积分BC。

首先，中国学生的数学本来就是优势，只要多努努力就能拿到高分。根据最新数据显示，2019年微积分BC的5分率较去年有明显提升，其中AP微积分BC的5分率为43.2%，比2018年同比增长2.8%。

在所有高中生可以选修的进阶课程中，AP Calculus BC可能是最能给大学留下深刻印象的一门，几乎所有的学院和大学都会为考试得高分的学生提供大学学分。包括麻省理工学院(MIT)、斯坦福大学和佐治亚理工学院等顶尖工程学院。

除此之外，AP微积分BC的成绩报告单上还列有AP微积分AB部分的成绩。如果你AP微积分BC是5分，AB部分肯定是5分。个别情况下，甚至AP微积分BC是4分，而成绩报告单上AP微积分AB也是5分。

不过考试君也提醒大家：AP微积分虽然难度不高，但并不意味着没有英语要求。考试君的建议是提升到托福70 的水平，再进行备考。

同时，AP微积分以计算题和概念题为主。选择题陷阱很多，时间也特别紧张，所以要求计算比较熟练。考试君建议大家也要学会熟练使用计算器。

推荐教材

1.巴朗的AP微积分。内容和难度适中偏难，知识点基本涵盖甚至超出AP微积分的考纲，练习题的难度接近于AP考试的要求。不好的地方在于有少数内容较偏较难，并且大部分知识点仅仅是介绍了内容，并没有较好的解释说明。

2. Kaplan的AP微积分。内容较细致，不好的地方在于思路和体系不是很清楚。

3. 普林斯顿的AP微积分。这本书适合初学者(在学校没怎么学过微积分的同学)。知识点的介绍非常简单易懂，课后习题也比较简单。缺点在于过于简单和基础，并且有几个AP微积分的考点在书中并没有出现或者并没有较好地介绍说明。同时，习题的难度和形式跟AP考试真题不是很像。

4. 最好的备考资料当然是真题。但是真题的难度比较大，尤其是BC，很多题目的综合度非常高，所以没有基础或者基础比较弱的学生，不建议上来就做真题，可以选择辅助别的教材或者辅导班，来弥补自己单个知识点的不足。

历年真题可以从Collage Board官网下载，每年都会更新，不过只有问答题部分，没有选择题。

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