怎样分别一个数是不是质数（如何判断一个数是质数）

福哥答案2020-09-20：#福大大架构师每日一题#

1.试除法。朴素素数筛，埃氏筛，欧拉筛和区间筛。代码采用朴素素数筛。

2.费尔马素性测试法法。费马小定理：假如p是质数，a是整数，且a、p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1，即：a^(p-1)≡1(mod p)。

3.米勒拉宾素性检验法。二次探测定理：如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1或x=p-1。

4.综合法。试除法 米勒拉宾素性检验。

5.AKS算法。暂时无代码。

因为用到了大整数，所以用python语言编写。代码如下：

# -*-coding:utf-8-*- import math import time from functools import wraps def quick_power(a, b, p): """ 求快速幂。ret = a^b%p。 Args: a: 底数。大于等于0并且是整数。 b: 指数。大于等于0并且是整数。 p: 模数。大于0并且是整数。 Returns: 返回结果。 Raises: IOError: 无错误。 """ a = a % p ans = 1 while b != 0: if b & 1: ans = (ans * a) % p b >>= 1 a = (a * a) % p return ans def timefn(fn): """计算性能的修饰器""" @wraps(fn) def measure_time(*args, **kwargs): t1 = time.time() result = fn(*args, **kwargs) t2 = time.time() print(f"@timefn: {fn.__name__} took {t2 - t1: .5f} s") return result return measure_time @timefn def is_prime_trial_division(num): """ 判断是否是素数。试除法。 Args: num: 大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。true为素数；false是非素数。 Raises: IOError: 无错误。 """ if num <= 1: return False if num == 2 or num == 3 or num == 5 or num == 7: return True if num % 2 == 0: return False i = 3 while num % i != 0: if i * i >= num: return True i = i 2 return False @timefn def is_prime_fermat(num): """ 判断是否是素数。费尔马素性测试法（Fermat primality test） 可能会把合数误判为质数。 Args: num: 大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。true为素数；false是非素数。 Raises: IOError: 无错误。 """ if num <= 1: return False if num == 2 or num == 3 or num == 5 or num == 7: return True if num % 2 == 0: return False a = 2 # a是[2,num-1]之间的随机数 if quick_power(a, num - 1, num) == 1: return True else: return False # 米勒-拉宾素性检验是一种概率算法，但是，Jim Sinclair发现了一组数：2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022。用它们做 [公式] ， [公式] 以内不会出错，我们使用这组数，就不用担心运气太差了。 @timefn def is_prime_miller_rabin(num): """ 判断是否是素数。米勒拉宾素性检验是一种概率算法 可能会把合数误判为质数。 Args: num: 大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。true为素数；false是非素数。 Raises: IOError: 无错误。 """ # num=(2^s)*t a = 2 # 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022 s = 0 t = num - 1 num_1 = t if not (num % 2): return False while not (t & 1): t >>= 1 s = 1 k = quick_power(a, t, num) if k == 1: return True j = 0 while j < s: if k == num_1: return True j = 1 k = k * k % num return False @timefn def is_prime_comprehensive(num): """ 判断是否是素数。综合算法:试除法 米勒拉宾素性检验 可能会把合数误判为质数。 Args: num: 大于等于2并且是整数。 Returns: 返回结果。true为素数；false是非素数。 Raises: IOError: 无错误。 """ if num <= 1: return False if num & 1 == 0: return False # 100以内的质数表 primeList = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97] # 质数表是否能整除 for prime in primeList: if num == prime: return True if num % prime: if prime * prime >= num: return True else: return False # 米勒拉宾素性检验 return is_prime_miller_rabin(num) if __name__ == "__main__": print(is_prime_trial_division(12319), "试除法") print("----------------------") print(is_prime_trial_division(561), "试除法") print("----------------------") num = 1111111111111111111 # 质数 num = 561 # 合数 num = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F # 质数 num = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141 # 质数 num = 2 ** 10000 111 # 合数 print(is_prime_fermat(num), "费尔马素性测试法") print("----------------------") print(is_prime_miller_rabin(num), "米勒拉宾素性检验") print("----------------------") print(is_prime_comprehensive(num), "综合法") print("----------------------") print("AKS算法，暂时没代码")

执行结果如下：

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