高中阶段的洛必达法则（高中拓展-洛必达法则）

函数与导数应用的问题中求参数的取值范围是重点考查题型.在平时教学中，教师往往介绍利用变量分离法来求解.但部分题型利用变量分离法处理时，会出现（-∞，0]型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则.

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

定式，否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.

④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

《普通高中数学课程标准》（2020年修订版）

课标要求： 掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数.能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题.发展学生数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模核心素养.

应用洛必达法则解决恒成立问题的解题思路

解决恒成立问题的常用方法为分离变量法，通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.利用变量分离法处理时，会出现“（-∞，0]”型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则.

应用洛必达法则确定分类讨论标准

注意应用洛必达法则解决的试题应满足：

（1）可以分离变量；

（2）用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；

（3）出现“”型未定式.

数学建模

1.【解读素养】数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决问题.

【素养落地】解决恒成立，不等式，求参数范围等问题时，运用参数分离是一种基本思路，但新函数，常常无法运用导数确定函数单调性.运用洛必达法则，可解决（-∞，0]型未定式问题.充分考查了学生观察、联想、转化与划归思想，是数学建模素养核心素养的集中表现.

参考答案：

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

【点睛】关键点点睛：

（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；

（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法结合极限思想，求参数范围.

点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．