玩牌怎么玩才能赢（玩牌玩统计系列之伯努利大数定理）

玩牌玩统计沉静了一周，这不代表这一周什么都没发生，虽说是沉静，但也是沉淀，厚积薄发的那种。这周的话题聊什么好呢？说中心极限定理吧，有点太正书面化太学院化。但是呢，所有统计推断的基础都离不开中心极限定理。记得不错的话，上一期我们好像谈到了中心极限定理。

回顾下：中心极限定理粗略的表达为，从方差数值为有限的总体中抽取部分个体形成样本，当抽取的个体数目达到一定的量时，样本的平均值近似服从正态分布。

好像是有点拗口，有点陌生，有点不懂。那我们换个思路，来说说频率的稳定性性吧，频率与概率是有关系的，但这种关系是有不确定性的，也就是说我们不能说频率就等于概率，但我们可以说，n重随机独立试验的次数越多时，试验中某个随机事件的发生频次越接近某个数，这个数我们称之为概率。这到底是什么回事，我也说不清楚，是自然的力量吧还是其他……？

废话不多说了，本期内容就讲一点：频率稳定性，可回答上期的第一个问题，如果再随机抽取一次，那么抽到１（牌A）的可能性有多大？

一次我们玩个新花样，就是仿真或模拟，记住，我们有13*4=52张牌，随机抽取1张，我们认为随机变量X服从1到13的整数均匀分布，就是每张牌被抽到的概率都为1/13。在仿真时的抽样都是放回抽样，每次仿真抽样之间是相互独立不受影响的，也就是每个单元格之间的取值是相互独立的，而且取值是按1到13的整数均匀分布来取的。。

计划如下，我们先仿真抽样100个样本，每个样本的样本量都是5，就单值来看，我们有500个数据，算出数字1出现的频率，再继续抽样，第n次抽样获得的500个数据将与前面所有抽样的数据合并，计算数字1（牌A）出现的频率，我们先抽个50次，一共可得到25000个数据，看看数字1出现的频率是否不断的向1/13收拢。

通过Minitab软件操作，来说明如何进行仿真数据的获得，如图：

获取了25000个数据之后，作散点图，看数字1的频率随试验总次数的变化，如下图：

此散点图能否得出，随着试验次数的增加，数字1（牌A）出现的频率必将以接近于100%的可能性向0.076923无限靠拢，理论上是的，但实际的答案是不知道的，从图中看好像有某种魔力吧出现数字1的频率往0.076923这个数字上拉。

但你可能问另外一个问题，那接下来的28000次或其他试验次数中出现数字1的频率会偏离0.076923呢还是不断的在这个数值周围晃呢，理论上应该在这个值附近晃，可以有怀疑，那么如何消除这个怀疑呢，继续抽样得频率值作图看趋势，可以试下。还有个问题，样本量为500，1000，……10000次的那个数字1的频率统计量的具体值是否正常呢。这里面涉及到抽样分布的问题，单次试验时，出现数字为1的概率为1/13，出现其他数字的概率为12/13。我们就拿10000次内出现数字1的频率分布的95%的范围应该是：

，计算的频率为0.0752，在95%对应的频率分布区间范围内，不认为出现异常。对应的其他样本量的算法可以按此思路进行计算。

期望读者以自己的视角对这张图发表更多的看法。那么这期开头的问题得到答案了吗？理论上是1/13。我们都是按照过去的经验来推断未来，从这张图来讲，我们会说不一定是1/13，有点人说是0.07688，有的人说不是。我来协调下，我们有95%的把握认为抽到的数值为1的可能性在某个范围之内，这个论断更准确些，而且如果我们的经验越丰富，这个范围就越窄，意思就是说，只获得2万次试验的信息的人的推测与获得20万次试验数据的人的推测是不一样的，拥有20万次试验数据的人的推测的范围更窄些，数据和经验都非常重要。大家是否有同感？这就是伯努利大数定理的统计直观的证据。伯努利大数定理的粗略描述为：n重伯努利试验中某随机事件的频率与概率的偏差将随着试验次数的增加变得微乎其微，也就是说，当试验次数很大时，便可以用事件的频率来代替事件的概率。

再上三张图，试验次数为500时的条形图，试验次数为10000时的条形图，试验次数为25000时的条形图

单从图形上看，似乎各数值出现的频率之间的差异随着总试验次数的增加而有所减少，果真如此吗？先思考，下期会详细讲解这部分内容。

MSA、SPC培训点击详情查阅