数学的各种版本（听上去很美的数学）

【原创】文/捷Jesse

1607年，来到中国耶稣会士利玛窦与明朝士大夫徐光启共同翻译的《几何原本》在北京刊印发行，“几何之学”作为新知识、新学科、新思想，对明清以来的中国数学乃至中国社会都产生了深远影响，同时也传播到同属汉字文化圈的日本、朝鲜等地，堪称中西文化交流史上的光辉典范。

欧几里得和《几何原本》

时光回到大明万历二十八年，即公元1600年，顺天府解元徐光启来到南京，在座师焦竑家中见到利玛窦，两人非常投缘并成为好友。1604年，徐光启考中翰林庶吉士后开始着手和利玛窦合作翻译《几何原本》。

徐光启与利玛窦

整个翻译工作由利玛窦口授、徐光启笔译而成，自1606年秋至次年5月，共完成了《几何原本》前6卷并付梓印刷。然而，没多久利玛窦就去世了，翻译工程戛然而止。直至二百多年后，清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力接力，才完成了全书后9卷的翻译工作，可谓一波三折。

清代科技翻译者李善兰和《几何原本》

现今市面上流传的《几何原本》译本品种繁多，以兰纪正和朱恩宽版本为佳。我们现在手上拿到的这本《几何原本》译本，是由清华大学科学史教授张卜天重新译制，并附有原书各卷中的英译文，便于对照学习。就让我们跟着这本“大厚本”来领略数学几何的神奇魅力吧。

清华大学科学史系张卜天

点、线、面、体，几何学的公理化体系

所谓公理化方法，就是选取少量原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理来证明其他命题。在数学学习过程中，几何学知识从未离开过“点、线、面、体”，这些概念构成了我们对“几何”认知的基础。借着《几何原本》的阅读，也让我们重新来回顾这些简单的几何学概念以及我们学习数学的过程。

“点”是无法被定义的，它是数学系统中的原始概念，是最简单的形，是几何图形最基本的组成部分。欧几里得最初含糊地定义“点”作为“没有部分的东西”，使得“点”在欧几里得空间中只有位置没有大小。“线”是点沿一定方向任意移动所构成的图形，是点运动的轨迹、面运动的起点；“面”是无数线条组成的图形；“体”是由无数的面构成。

点、线、面、体

回顾我们从小到大接受的数学教育和数学思维训练，无疑也是沿着《几何原本》的体系展开。初中时，我们学习的三角形知识、直线的平行与相交，相关内容基本都在《几何原本》第一卷中；之后学习的数、式的运算，与《几何原本》第二卷的代式恒等式，如二项和的平方、黄金分割等契合；第三卷讲到的圆、弦、切线与圆的关系，第四卷讲到圆的内接、外切三角形等，这些都在初二的几何课程中有所涉及。

《几何原本》的第五卷讲的是比例，第六卷讲的是比例理论在平面图形的应用，这都是我们初中学到的相似图形、四边形和多边形知识。随后几卷的内容，也同高中的数学体系相互呼应。因此，在初等数学的学习过程中，我们基本都是依循着欧几里得的数学体系前行。即使是高中时期的立体几何，也都是基于“经过不在一条直线上的三个点，有且仅有一个平面”的公理。

几何题

从拓扑维度上来看，点是0维对象，线是1维对象，面是2维对象，体是3维对象。正是点、线、面、体构建了几何学的基础，形成了我们丰富多彩的世界。

拓扑分形

拓扑结构

定义、公设、公理、命题，逻辑严密的数学系统

欧几里得在《几何原本》的卷首提出了五条公理、五条公设，并在各卷开头共给出了二十三个定义，并根据这些公理、公设、定义用严格的逻辑推论方法推导出多达四百六十五个命题，将它们分门别类地组成了全文的一十三卷。各卷开头皆从几何图形开始，推理逻辑极其严密，令人惊叹。

《几何原本》在卷首列出了五个公理，分别是：

→等于同量的量彼此相等。即，如果A＝C，B＝C，则A＝B。

→等量加等量，其和相等。即，如果A＝B，C＝D，则A＋B＝C＋D。

→等量减等量，其差相等。即，如果A＝B，C＝D，则A－B＝C－D。

→彼此能重合的物体是相等的。

→整体大于部分。

随之，欧几里得又给出了五个公设，分别是：

→由任意点到任意另一点可作直线。

→一条有限直线可以继续延长。

→以任意点为圆心及任意距离为半径可以画圆。

→凡直角都相等。

→平面内一条直线与另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，那么这两条直线无线延长后，在这一侧一定相交。

公理、公设

上述定义、公设、公理层面引出的命题与论证过程，展现了完整的数理性逻辑演绎，也体现了古希腊人的哲学与文化。众所周知，数学理性起源于古希腊，形成于西方文艺复兴，本质上是受三段论影响，达到了“接受已知，就要接受结论”的独特需求。

九章算术

在中国，数学理性和应用的代表作有《九章算术》等，相比来看《九章算术》更注重实用和结果，也体现了东方的文化特色。在精神财富层面上，《九章算术》是观察—实验—归纳—分析—概括的数学研究方式，而《几何原本》则是定义—公理—定理—例题的数学研究方式。

同样是数学巨制，却有着如此迥异的研究方法，与当时的社会背景有关。《九章算术》跨度广，是春秋至秦汉千年时间内社会生产知识积累的汇总，全书的246题涵盖方田、黍米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节内容，包含了当时数学的所有分支。

有趣的是，《九章算术》的一些算法连《几何原本》中都没有。可以说《几何原本》与《九章算术》互为长短，毕竟《九章算术》以实用性、计算性、丰富性为优点，而《几何原本》则以几何、数论、逻辑性著称。通过对比，也间接印证了《几何原本》的逻辑严密性。

平行体系之外的挑战，让非欧几何成为高级补丁

对于欧几里得设定的系统中，公设五又被称为平行公设，其延伸就是我们常见的“平面内，三角形内角和为180°”“过线外一点，恰有一直线与已知直线平行”等通俗提法。然而，平行公设就是对的么？有没有例外呢？

地球上的非欧几何实例

人们在地理探索时发现，地球的赤道、0°经线和90°经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都是90°，然而，它们的和就是270°。这就是用欧几里得无法解释的典型案例。后人研究几何学时，逐步形成了罗氏几何和黎曼几何等等。

不同平行公理

罗氏几何是俄国数学家罗巴切夫斯基、德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶在同一时期研究的，因罗巴切夫斯基工作最典型、影响最大而命名。他提出：过平面上直线外一点可作无数条直线与该直线不相交。1854年，高斯的学生黎曼提出了另一种公设：过平面上直线外一点所作出的任何一条直线都将与该直线相交。

非欧几何构架

罗氏几何、黎曼几何与欧氏的《几何原本》中的三条“平行公理”相互补充，被称为几何学的“三兄弟”，其中欧氏几何又称为抛物几何，罗氏几何又称双曲面几何，黎曼几何又称椭圆几何。欧氏几何适用于描述宏观世界的空间几何性质，罗氏几何和黎曼几何适应于描述大尺度宇宙以及微观世界的几何性质。爱因斯坦在相对论中使用的就是黎曼几何。

爱因斯坦与黎曼几何

空间弯曲

1858年，德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有正反两个面，且可分别涂成不同的颜色；而这种纸带只有一个面，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这也是欧氏几何无法直接解释的问题，成为拓扑学的一个典型图案。

莫比乌斯带

…

正是这些神奇的数学为我们的生活增添了诸多光彩和乐趣。回归到数学阅读，我们可以把对数学的学习从答题、知识点的学习扩展到问题来源及应用前景的分析与展望，让数学跳出生活又回归生活，进而推动人类文明的进程。

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