魔方最多需要几步（魔方不超过二十步）

在一切益智游戏中，魔方是名副其实的王者。魔方从创造至今已风魔全球三十多年，人们却一向乐此不疲，不断探索魔方提出的问题。

魔方是人类创造的一切益智游戏中的佼佼者。首先，其他任何游戏都没能吸引如此多的关注，引来世人宣布许多相关文章和书籍，评论其间微妙。其次，魔方颇具难度，数百万人开展各种比赛，屡创豪举……这些成果愈显奇特，乃至挨近疯狂。一起，魔方启发了数百种机械益智游戏，衍生游戏往往和魔方相同惊人。现在，咱们也可以在电脑上进行模仿操作。最终，三十年来，最杂乱形状的问题一向无解，唯有强壮的核算机网络或许才干终究将之破解。

咱们还会细谈这四个论题，尤其要讲讲现已证明的定论：在任何状况下，20 步足以将魔方不同色彩的 6 个面复原。

奇妙的机械结构

在 1980 年 8 月出书的法国《为了科学》（Pour la Science）杂志第 34 期里，埃马努埃尔·哈伯斯塔特宣布了题为“匈牙利方块及群理论”（Le cube hongrois et la théorie des groups）的文章，在其间描绘了魔方，并根据魔方数学结构剖析提出一种复原魔方的实用办法。

这篇文章让魔方在法国风行一时，而人们对魔方的痴迷早已快速席卷国际各地。

回溯到此前六年，雕塑家及建筑学教授埃尔诺·鲁比克创造了由 26 个经过奇妙机械结构相连的小方块组成的魔方。魔方各面由 9 个方块（3×3）构成，每面均可绕着平行于棱且经过面中点的轴旋转。这本该是一个完整的 3×3×3 立方体，但中心方位的方块却替换为转轴系统，使全体既相互衔接，又能滚动。魔方处在初始形状时，各面都仅有一种色彩，总共是蓝、红、橙、绿、黄、白六种。把魔方各面拧几下，不同色彩的方块被打乱，问题就是怎样将魔方复原到初始形状。

试着摆弄几下，咱们就能理解这个益智游戏结构的一些基本要素。

每个面的中心块绕着自身旋转，方位不变。它们决定着每个面的色彩，可以精确地表明立方体的方向。

角块总共有 8 个，一向在极点方位。每个角块有 3 个色彩不同的可碰头，考虑魔方每个面中心块的色彩，可以精确断定一个角块在魔方复原后所在的方位。

剩余 12 个就是棱中心的棱块。每个棱块有两种不同色彩的可碰头，和角块相同，可以精确断定棱块在终究形状中所在的方位。

1　魔方的最难形状，为了证明 20 步总能足以将魔方复原，人们在运算过程中得出这种极致形状。图中将 20 个复原过程一一画出。你可以照着图反向操作，给自称魔方高手的亲朋好友出个难题。

复原魔方看起来简略，实际却是块难啃的骨头。魔方一旦被打乱，在没有任何协助或从未对魔方背面的数学问题进行过深入研讨的状况下，听凭怎样努力也不或许将它复原。这个游戏实在太难了，它能大受欢迎也耐人寻味。

自 1977 年第一批魔方在匈牙利上市以来，大约有 3 亿 5 千万个魔方被出产和出售。魔方打败各类益智游戏，成为各前史阶段的销量冠军——仅有的例外也许是Taquin（也叫作“15 块拼图”）。自 1879 年面世以来，Taquin 游戏衍生出数千种不同版本，咱们无法核算究竟总共制造、出售了多少。虽然魔方被造假者无耻地剽窃、仿制，魔方仍是为其创造者埃尔诺·鲁比克收获了财富和荣誉，让他可以在后半生专注创造并制造其他益智游戏。

人们围绕魔方的构造理论和回答办法出书和宣布了很多书籍和文章。在互联网上也有很多专门解说魔方的网页。每年涌现的很多文献可追溯到 20 世纪 80 年代，那时，人们对魔方的热心几近狂热。乔治·赫尔姆斯编纂的文献收录了 22 种语言的 719 篇文章。1979 年有 14 篇著作宣布、1980 年 52 篇、1981 年 174 篇、1982 年 70 篇、1983 年 15 篇。詹姆斯·诺斯的著作《魔方的简略解法》（The Simple Solution to Rubik's Cube）是 1982 年 1 月全球销量最大的图书，在畅销书排行榜上逗留三年之久，总共卖出了逾六百万册。另有多本魔方书籍的销量都超过了百万册。

国际各地都在举行魔方比赛。国际魔方协会（WCA）为很多比赛提供赞助。

最厉害的魔方玩家不到 10 秒就能复原 3×3×3 魔方。有一点要说清楚，国际魔方协会的规矩允许在开端拧魔方之前先调查 15 秒。15 岁的澳大利亚冠军菲利克斯·曾姆丹格斯均匀用 8.5 秒就能将魔方复原。他也能处理更难的 4×4×4 魔方，均匀耗时 42 秒；还有极难的5×5×5魔方，均匀耗时 68 秒。

有些记载没那么正规，但也成为了经典战绩，像体育比赛纪录相同不断被改写。2010 年的单手拧魔方冠军用时 14.7 秒。脚拧魔方冠军用时 42 秒。2008 年 11 月 16 日，米兰·巴提克用不到 24 小时的时刻复原了 4786 个魔方，打破之前 3505 个魔方的纪录。值得一提的是，巴提克接连 24 小时成功保持了每个魔方均匀耗时 18.05 秒的惊人速度！

2　魔方主义画派：这些画作由 9 种像素块构成，艺术家用足够多的魔方，将 其一面拧成不同色彩的 9 个像素块，用 6 种色彩耐心拼成整幅著作。相似著作 可以在 www.space-invaders.com/archives.html 看到。

魔方盲拧愈加不行思议。玩家对魔方进行调查之后，蒙上眼睛拧转魔方。2010 年的盲拧冠军庄海燕包括调查过程的整个操作过程只用了 31 秒。盲拧魔方数量的国际纪录属于印度尼西亚人穆哈默德·伊里勒·凯鲁·阿纳姆。2010 年，他在调查魔方后蒙上眼睛，于规定的一小时内逐一复原了 16 个魔方。

最年青的魔方玩家在成绩被认可时只有 4 岁。年纪最大的玩家高龄 88 岁。魔方盲拧的难度更大，玩家年龄纪录分别是 10 岁和 60 岁。

玩魔方的成果感在于把玩时体验到的趣味。仅由磁铁吸在一起的八方块立方体益智游戏比魔方还早几年诞生，它与魔方相似，却更为简略。磁铁吸附的方块很容易被拆下，而非只能滚动改换方位，因而，玩家可以投机取巧，游戏也未能引起轰动。魔方的天才创意在于机械立异，而非数学创意。

在魔方各类卓然拔尖的变体中，空心魔方可谓奇迹。空心魔方的外观和滚动办法与魔方相同，仅仅魔方用于工作的一切构件都消失了：立方体中心和每个面的中心都是空的，仅剩余 8 个角块和 12 个棱块，就能完全像魔方那样移动（拜见下图）。缔造魔方神话的精巧机械结构就这样被逾越了！假如你想测验研讨魔方的各种变体，且不想一一购买，可以经过网上的免费小程序就模仿操作（特别推荐：www.randelshofer.ch/rubik/index.html）。

数一数复原魔方的过程

很容易看出，15 步不足以将任意形状的魔方恢复原状。魔方的6个面都可以滚动 90 度、180 度或 270 度，因而，魔方每滚动一次（一个面的旋转）共有 18 种挑选。滚动一次可以变出 18 个形状，滚动两次，最多可以变出 18×18 ＝ 18² 个不同的形状，依次类推。假如最多滚动 15 次，可变出的不同形状数目小于或等于：18 18² 18³ 18⁴ … 18¹⁵=7.1435×10¹⁸。

不过，这一数字却小于魔方可变出的形状总数，即 4.3×10¹⁹。所以，假如最多只滚动 15 次，咱们无法变出一切或许形状。假如魔方处于一个无法只用 15 步拧成的形状，恐怕需求至少滚动 16 步才干复原。进一步推理指出，某些形状需求至少 17 步复原。

能将魔方复原现已很不错，假如能用最少的滚动步数将魔方复原，就更好了……当然，难度也更大。国际魔方协会设立了一个比赛，衡量参赛者们节约滚动过程的才干，规矩如下：

(a) 参赛者有一小时时刻调查并仔细研讨被打乱的魔方，必要时，可以凭借铅笔、纸张、三个辅助魔方和有色彩的小胶条；

(b) 一小时后，参赛者将自己找到的最优滚动过程按规范记载办法写下来。

解法的长度即面的滚动次数，一次滚动也可以是四分之一圈或许半圈。2010 的冠军是匈牙利人伊斯特万·柯察——看看！又是匈牙利人！他用 22 步滚动复原了试题中打乱的魔方。值得注意的是，这个数字的确现已很小了。书籍或各种网页里介绍的魔方复原办法大约需求 60 步，一些更难学的最佳办法也要 30 步。柯察取得 22 步的优异成绩，并不是因为 2010 年的题目碰巧简略。2009 年，该项比赛的冠军也用了 22 步，2011 年的纪录是 25 步，2012 年为 20 步，2013 年为 21 步。参赛者在不断进步，随之也呈现一个问题：能否总用 22 步或许更少的步数复原魔方？更切当地说，顶级参赛者面对最坏状况时要滚动多少步？

当纯理论遇上实际困难

长久以来，人们怀疑终极答案是 20 步。2010 年 7 月，该定论被证明确凿。魔方滚动步数的研讨可以归结为某些数学群的研讨，所以，咱们曾认为依托不断完善的数学知识能揭开谜底。咱们所研讨的魔方结构不包括任何随意性。这和国际象棋的比如恰恰相反。国际象棋拥有杂乱的规矩，或许呈现的棋局图画非常繁复难明。在这里，咱们用图来表明魔方问题的结构（拜见“魔方的图论”），并用非常简略的几许元素加以定义。对数学家来说，这似乎是比较理想的状况，他们可以尽情施展才华，依靠群、群的分类、群的分解等数学知识得出答案。但是，没有得出任何成果，纯理论办法终究被证明是不行行的！

4. 魔方的图论

咱们将魔方一切或许形状用图示表达出来。图的节点是4.3×10¹⁹种或许的形状，若两个形状可以经过魔方一个面的一次旋转相互转化，相应两个节点由一条弧衔接。

咱们无法完整呈现这幅图。魔方图具有高度的对称性，因为一切节点都相互等价，与立方体极点图的状况相似。寻觅复原魔方最优滚动过程就转化为如安在该图中找到最短途径。寻觅复原最难形状所需的最多滚动步数等价于寻觅距初始形状最远的形状，根据本图的对称性，问题又转化为寻觅图的直径，即图中两个节点之间的最大间隔。

由于图太大，在图中无法直接使用一般算法（核算最短途径和直径，等等），即使使用强壮的核算机网络也是如此。经过改造算法并尽或许使用图的特别性质，才干算出图的直径。

研讨者们采用了如下主意：为了核算A和B两个方位之间的一条短途径，可以选取距A不太远的形状C，然后找出A和C之间的最短途径以及B和C之间的最短途径。将这两条最短途径相连，未必能得出A和B之间的最短途径，但已能得出足够好的成果。别的，经过改换C，能基本确定A和B之间的最短途径。

对魔方图直径问题的研讨已有三十年之久，却发展缓慢，直到2010年7月才证明直径等于20。为了感受一下发展速度，让咱们回忆一下要害日期、证明者姓名及其得出的直径：1981年7月摩温·希斯特斯维特得出52，1993年4月汉斯·克鲁斯特曼得出42，1992年5月迈克尔·瑞德得出39，1992年5月迪克·温特得出37，1995年1月迈克尔·瑞德又得出小于29且大于20，1995年12月斯尔夫·拉度得出28，2006年4月斯尔夫·拉度又得出27，2007年5月丹·康克勒得出26，2008年3月托马斯·洛基奇又得出23，2008年8月进一步得出22，2010年7月托马斯·洛基奇、赫伯特·科辛巴、莫雷·戴维森和约翰·戴斯里奇终究证明直径等于20。

伴随最终一个成果的诞生，人们得出下面的列表，指出了与初始形状相距给定间隔的节点数量。列表中最终几行是近似成果。

20 步，这个答案终究经过一系列算法的拓展研讨才得以证明，前后历时二十年。人们有必要凭借强壮的运算才干才干修成正果，相当于一台台式电脑不间断工作 35 年。研讨人员动员业界巨子谷歌公司出借一批核算机，花了几周时刻才完结运算。

打乱魔方可以得到的形状数量是 4300 亿亿。除了滚动，假如将魔方拆卸再随意重组，形状数量就会翻 12 倍，那么，仅有十二分之一的概率能将魔方复原。魔方的这一性质和 Taquin 游戏相似：将 Taquin 拆卸并随意拼回图形，只有二分之一的概率能找回初始方位。

咱们可以逐一处理 4.3×10¹⁹ 个或许形状，找到最佳滚动过程将魔方复原。赫伯特·科辛巴自 1992 年就开端研讨这个问题，并找出了优胜的算法。多亏了他，找到给定魔方形状的最少复原过程不再是梦想。对于给定形状，强壮的机器通常也需求好几秒钟才干找到最优滚动过程。采用每秒处理一个形状的算法，核算每一个形状的最优滚动过程，终究找出魔方最杂乱的形状，这需求调动现今地球上存在的全部十亿台核算机一起工作 1300 多年。强使蛮力也无法给出答案。

另一个办法主张逐渐处理，记住所得成果，并将其重复使用。调查一步滚动可以得出的一切形状（总共 18 个），将一步滚动所得形状的相关信息列出。从这些形状动身，进行下一步一切或许的滚动，此后，再将两步得到全新形状的相关信息记载下来。

以相同办法继续，咱们逐渐记载下达到一切或许形状的最短途径信息（因为，当咱们第一次生成一个形状时，不或许有更短的滚动过程来得到它）。当最新一步核算无法再产生新形状时，停止算法。咱们坚信，可以得到一切最短途径的长度，一起，找到所需复原过程最多的魔方形状。

理论上，这个办法更好地使用了已逐渐保存的核算成果，比上一个办法速度更快。但是，由于信息存储量过大，此法依然不行行。想要完结刚刚描绘的算法，逐渐核算一切最短途径，所需存储量是地球上一切核算机硬盘的存储量总和，数量级为 10²¹字节！

算法的功劳

在过多运算和过大存储之间，有必要找一个折中的办法。托马斯·洛基奇、科辛巴、莫雷·戴维森和约翰·戴斯里奇找到一个办法，证明晰 20 步就是将魔方从最杂乱形状复原所需的滚动步数。他们经过长期研讨和一系列改善措施，期望限制问题的杂乱性，一起，使用一台现代化核算机的存储和核算才干，保证绝不超出当今技能的极限。

3　魔方最经典的变体是 2×2×2 魔方、4×4×4 魔方的复仇、5×5×5 教授魔方。这些都是国际魔方协会的比赛项目。2008 年上市的 6×6×6 魔方和 7×7×7 魔方体积最大。2×2×2 魔方的形状总数是 3 674 160 种，3×3×3 是 4.3×10¹⁹ 种，4×4×4 是 7.4×10⁴⁵ 种，5×5×5 是 2.8×10⁷⁴种，6×6×6 是 1.57×10¹¹⁶ 种，7×7×7 是 1.95×10¹⁶⁰ 种。这现已超过了可见世界中信息量的比特数！魔方的数十种变体风行全球，包括给视障人群的盲文版魔方。

使用问题的对称性可以稍微减小运算规划。此外，将问题分解成数量很多的子问题，凭借相似上述渐进法的办法，一台核算机的存储才干就足以完结全体处理。于是，问题就被分解成 2 217 093 120 个子集，各自包括 19 508 428 800 种形状。再次使用对称性，所要处理的子集数量还可削减到 55 882 296 个。

最杂乱状况至少需求 20 步完结，科辛巴算法的一个变体正是使用了这个信息。从 1995 年起，人们便知道少于 20 步无法复原某些形状。因而，对于给定形状，只要找到一个小于 20 步的解法，即使不是最优办法，咱们就不再吃力寻觅更简短的途径了。

为了证明“20 步足以复原最杂乱形状”，冗长的运算还得出了别的一些有趣的信息。比如，所需步数的均匀值为 17.7 步。需求 20 步才干复原的杂乱形状比较少见，大约有 3 亿种。这意味着，假如随机抽取，呈现这种杂乱形状的概率少于一千亿分之一。这些信息让咱们认识到，可以用 22 步复原魔方的魔方达人现已非常挨近完美地步，着实值得称赞。但是，虽然他们做出了巨大努力，阅历了艰苦练习，却依然无法发现最优的滚动过程。

曾几许时，这个有着三十余年前史的游戏向全体核算机科学家们宣战，研讨者们费尽心思才处理了最杂乱形状的问题。魔方也要挑战数学家。现在，面对这个简略的纯代数笼统问题，数学家们只能听任机器摆布，勉强接受一个任何数学理论家都无法质疑、却也无法手工验证的定论。

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作者：让-保罗·德拉耶

译者：路遥

本书揭开趣味游戏、艺术设计和日常日子中的数学暗码，经过新颖论题和精巧图示展示算术与几许中躲藏的妙趣，从最简略的数学原理走入算法的精彩国际，展示算法破解数学谜题的无量威力。本书合适一切数学爱好者阅读。

【作者简介】

让-保罗·德拉耶 | Jean-Paul Delahaye

法国数学家和核算机科学家，数学科普作家，现任法国里尔科技大学核算机技能教授，法国国家科学研讨院（CNR）核算机基础科学实验室研讨员，主要研讨逻辑编程、偶然性和游戏的算法原理。 最后希望大家点个关注 转发＋评论再走呗

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