初中数学几何辅助线添加方法（初中几何题如何添加辅助线）

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添加辅助线是解决几何证明和计算题的一种重要辅助手段，可以把题目化繁为简，迅速证明或计算到所要的结论。本文就例题讲解如何添加辅助线，希望能给大家带来帮助。

例题

四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC；

(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；

(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

一、若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及EC/GC的值

1、证明四边形CDFE为直角梯形

根据题目中的条件：四边形ABCD是正方形，则∠BCD=90°；

根据题目中的条件：△BEF是等腰直角三角形，则∠BEF=90°；

根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，∠BCD ∠BEF=180°，则EF∥CD；

根据题目中的条件和结论：EF≠CD，∠BEF=90°，EF∥CD，则四边形CDFE为直角梯形。

2、根据题目中的条件和结论添加辅助线，构造等腰直角三角形中的重要线段

根据题目中的条件：G为DF的中点，四边形CDFE为直角梯形，可以考虑构造梯形的中位线。

根据梯形中位线定理，可以计算中位线与两底边的关系，利用正方形、等腰直角三角形FEB中边之间的关系，得到中位线与EC的关系。

同时，梯形的中位线也是需要证明的等腰直角三角形的中线，根据直角三角形的判定，可以证明∠EGC为直角。

根据梯形中位线定理，可以得到中位线垂直于EC，则中位线为EC的中垂线上的一段。根据中垂线的性质，可以得到EG=EC。

于是，这样添加辅助线：取EC的中点M，连接GM。

3、证明△EGC为等腰直角三角形

根据梯形中位线的定理：梯形的中位线平行于梯形的底边，中位线的长度等于梯形两底边的和，则GM∥EF，GM=(EF CD)/2；

根据题目中的条件：EF=EB，BC=CD，EC=EB BC，则GM=(EF CD)/2=(EB BC)/2=EC/2；

由辅助线：M为EC的中点，根据直角三角形的判定：如果一边上的中线等于一边的一半，则这个三角形为直角三角形，则∠EGC=90°，即EC⊥GC；

由题目中的条件和结论：∠FEB=90°，GM∥EF，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，则∠GMC=∠FEB=90°，即GM⊥EC；

由辅助线和结论：EM=MC，GM⊥EC，所以GM在EC的中垂线上；

根据中垂线的性质：线段的中垂线上的点到线段两端距离相等，则EG=GC；

所以，△EGC为等腰直角三角形，EG⊥GC，EC/GC=√2

二、△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，写出EG与GC的位置关系及EC/GC的值

1、根据题目中的条件添加辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形

根据题目中的条件：G为DF的中点，考虑构造两组全等三角形：△FGE和△DGN、△EBC和△NDC。

利用正方形、等腰直角三角形FEB中边之间的关系、角之间的关系和全等三角形的判定，证明两组三角形全等。

根据全等三角形的性质，得到NC与EC的位置和大小关系，则构造出等腰直角三角形ENC，其中GC既是它的中线又是高，则△EGC也为等腰直角三角形。

于是，这样添加辅助线：延长EG，取GN=GE，连接DN、CN。

2、证明△FGE≌△DGN

由题目中的条件和辅助线：FG=GD，EG=NG，∠FGE=∠DGN，根据全等三角形的判定（SAS），则△FGE≌△DGN；

3、证明△EBC≌△NDC

由结论：△FGE≌△DGN，根据全等三角形的性质：全等三角形对应边、对应角分别相等，则ND=EF，∠EFG=∠NDG；

设AB交FD于点Q

由题目中的条件：GM∥EF，根据平行四边形的性质：两直线平行，同位角相等，则∠FQB=∠FDC；

由题目中的条件：∠BEF=90°，根据四边形的内角和为360°，则四边形EFQB的内角和：∠BEF ∠EFQ ∠FQB ∠QBE=360°，即∠QBE=270°-（∠EFQ ∠FQB）；

根据题目中的条件：∠EBC=∠QBE ∠ABC，∠ABC=90°，则∠EBC=270°-（∠EFQ ∠FQB） 90°=360°-（∠EFQ ∠FQB）；

根据题目中的条件：∠NDC=360°-(∠GDN ∠GDC)；

根据结论：∠EFG=∠GDN，∠FQB=∠GDC，则∠NDC=∠EBC；

根据结论：ND=EF，EF=BE，则ND=BE；

根据三角形全等的判定（SAS），则△EBC≌△NDC。

4、证明△ENC为等腰直角三角形

由结论：△EBC≌△NDC，根据全等三角形的性质：全等三角形对应角、对应边分别相等，则∠ECB=∠NCD，NC=EC；

根据题目中的条件：∠DCB=∠ECB ∠ECD，则∠ECN=∠DCN ∠ECD=∠DCB=90°；

所以，△ENC为等腰直角三角形

5、证明△EGC为等腰直角三角形

由辅助线：EG=GN，根据等腰三角形三线合一的性质，则CG⊥EN；

由辅助线：EG=GN，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则CG=1/2EN=EG；

所以，△EGC为等腰直角三角形，EG⊥GC，EC/GC=√2

总之，合理添加辅助线是解决许多几何题的前提，只有认真审题、仔细分析，多加练习，才能快速准确地添加辅助线，解决几何问题，轻松学数学。

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