高中数学函数单调性与参数（高中数学函数单调性的判断方法）

函数的单调性是函数的重要性质，反应了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。掌握函数单调性的判定方法是学好高中数学必不可少的一个重要的知识点。

1.判断具体函数单调性的方法

对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：

1.1 定义法

单调函数的定义：一般地，设f(x)为定义在D上的函数。若对任何x_1、x₂∈D，当x₁<x₂时，总有

(1)f(x₁)＜f(x₂)，则称f(x)为D上的增函数，

(2)f(x₁)＞f(x₂)，则称f(x)为D上的减函数。

用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。

利用定义来证明函数y=f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：

（1）设元，任取x₁、x₂∈D,且x₁<x₂；

（2）作差f(x₁)-f(x₂)；

（3）变形（普遍是因式分解和配方）；

（4）断号（即判断f(x₁)-f(x₂)与0的大小）；

（5）定论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

1.2 函数性质法

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下图：

对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下一些结论：

⑴．f(x)与f(x) C单调性相同。（C为常数）

⑵．当k>0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k<0时， f(x)与kf(x)具有相反的单调性。

⑶．当f(x)恒不等于零时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性。

⑷．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时，则f(x)＋g(x)在D上是增（减）函数。

⑸．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增（减）函数；当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减（增）函数。

⑹．设y=f(x),x∈D为严格增（减）函数，则f(x)必有反函数，且反函数在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数。

我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下几个例子：

函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。

1.3 图像法

用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数f(x)的图像在区间D上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间D上是增函数；若函数f(x)图像在区间D上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间D上是减函数。

例5. 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图像，试判断其单调性。

解：由图像可知：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）。

其中函数y=f(x)在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y=f(x)在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数y=f(x)在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数y=f(x)在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。

例6.利用函数图像判断函数f(x)=x 1；‚g(x)=2^x；ƒh(x)=2^x x 1在[-3,3]上的单调性。

分析：观察三个函数，易见h(x)=f(x) g(x)，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出f(x)=x 1和g(x)=2^x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h(x)=2^x x 1的图像，最后利用图像判断函数h(x)=2^x x 1的单调性。

解:作图像如下所示：

由以上函数图像得知函数f(x)=x 1在闭区间[-3,3]上是单调增函数；

g(x)=2^x在闭区间[-3,3]上是单调增函数；

利用物理上波的叠加可以直接大致作出ƒh(x)=2^x x 1在闭区间[-3,3]上图像，即ƒh(x)=2^x x 1在闭区间[-3,3]上是单调增函数。

事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。

用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。

1.4 复合函数单调性判断法

归纳此定理，可得口诀：同增异减。

以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。下面我们就用“八字”求法来判断函数的单调性。

1.5 导数法

我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性，图像上升则递增，图像下降则递减．用定义法、图像法等这些初等方法来判断函数的单调性，一般比较繁杂，下面我们将以导数为工具来判断函数的单调性。函数f(x)的导数反映了函数增加或减小的快慢，即变化率．因此我们可以利用导数判断函数的单调性．这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法。在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性。

下面我们来看下面几个例题：

2．判断抽象函数单调性的方法

如果一个函数没有给出具体解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数。抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息。

2.1 定义法

通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与0（或者1）比较大小关系来判断其函数单调性。通常有以下几种方法：

2.1.1 凑差法

根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出”“f(x₁)-f(x₂)”的形式，然后比较f(x₁)-f(x₂)与0的大小关系。

例11.已知函数f(x)对任意实数m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，且当m>0时，

f(m)>0，试讨论函数f(x)的单调性。

解：由题得f(m n)-f(m)=f(n)，

令x₁=m n,x₂=m，且x₁>x₂，则n=x₁-x₂>0

又由题意当m>0时，f(m)>0,得

f(x₁)-f(x₂)=f(m n)-f(m)=f(n)>0，

所以函数f(x)为增函数。

2.1.2添项法

弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“f(x₁)-f(x₂)”与0大小关系的目的。

例12.（同例11）已知函数f(x)对任意实数m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，且当m>0时，f(m)>0，试讨论函数f(x)的单调性。

解:任取x_1、x₂ ∈R，x₁<x₂ ，则x₂-x₁＞0,

f(x₂)-f(x₁)=f[(x₂-x₁) x₁]-f(x₁)

由题意函数f(x)对任意实数m、n均有f(m n)=f(m) f(n)

且当m>0时，f(m)>0,得

f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁)>0，

所以函数f(x)为增函数。

2.1.3 增量法

由单调性的定义出发，任取x_1、x₂ ∈R，x₁<x₂ 设x₂=x₁ γ（γ>0）,然后联系题目提取的信息给出解答。

例13.已知函数f(x)对任意实数m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，且当m>0时，f(m)>0，试讨论函数f(x)的单调性。

解：任取x_1、x₂ ∈R，x₁<x₂ 设x₂=x₁ γ（γ>0）

由题意函数f(x)对任意实数m、n均有f(m n)=f(m) f(n)，得

f(x₂)-f(x₁)=f(x₁ γ)-f(x₁)=f(γ)

又由当m>0时，f(m)>0得

f(x₂)-f(x₁)=f(γ)>0

所以函数f(x)为增函数。

2.1.4 放缩法

利用放缩法，判断f(x₁)与f(x₂)的大小关系，从而得f(x)在其定义域内的单调性。

对于抽象函数，由于抽象函数没有具体的解析式，因此需充分提取题目条件给出的信息,观察结构特点。用定义法判定抽象函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x_1、x₂ ，当x₁<x₂ 时，容易得出f(x₁)-f(x₂)与0大小关系的函数。定义法是最直接的方法，思路也比较清晰，在解题中灵活选择凑差法、添项法、增量法、放缩法等恰当的方法，可使解题过程更加简单方便。

总结：函数单调性是函数的一个非常重要的性质，本文从单调性的定义入手，总结了判断单调性的常见方法。本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行讨论，对于每类函数都给出了判定单调性的若干方法。对于具体的函数，我们可以用多种方法去判断其单调性，特别地导数法是普遍适用的，若借助于计算机，那么图像法也是最简单最直观的。对于抽象函数的单调性问题，我们给出了用定义法及列表法。这种题型不仅抽象，而且综合性较强，对学生的思维能力有很高的要求，学生往往很难发现数学符号与数学语言之间的内在关系。因此在判断函数单调性的问题上，应灵活选择恰当的方法，从而使解题过程最简单。

注意：文中讲的是函数单调性的判断方法，要注意区分函数单调性的证明与判断的不同。函数单调性的证明只能用定义法和导数法，而函数单调性的判断除定义法和导数法，还可以使用文中介绍的各种方法进行判断。

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