复合函数导数基本公式（全导数与复合函数求导公式证明的几何图解）

复合函数求导公式的证明：

从以上的证明过程可以看出，关键是下一步：

这一步很容易从几何意义加以解释：

Δ y等于对应x0和x0 Δ x两点曲线上的高度差，而dy则是相同两点对应的切线上的高度差，当Δ x趋于0时两者相等，而Δ x趋于0时就直接用dx表示，如下图：

上述证明思想就是通过微分的方法用切线上两点的高度差代替曲线上相同两点的高度差。

证明的结果是

这个等式的意思就是y对x函数的斜率就等于y对u函数的斜率乘以u对x函数斜率两者的乘积。

从上图可以看出，y对x函数的斜率就等于正弦函数的斜率乘以2x函数斜率两者的乘积。

上述方法可以推广到多元函数：

首先通过全微分公式

然后用dz代替Δz,du代替Δu，dv代替Δv。

根据全微分的几何意义：

Δz表示过A，B两点垂线与曲面相交两点的高度差，而dz则是切平面上相同两点的高度差，

Δz用dz代替，则同样是用切平面上两点的高度差代替曲面上相同两点的高度差。

最后结果得出下图中的全导数公式：

综上：

不管是一元函数还是多元函数，在证明复合函数的求导公式时，都是通过微分的近似方法完成的。