因式分解法平方差公式导入（帮你学好因式分解）

运用公式法进行因式分解除了运用平方差公式a^²-b^²=(a b)(a-b)外，还包括运用完全平方公式：

a^²±2ab b^²=(a±b)^²，

从完全平方公式来看，要想运用它进行因式分解，多项式必须具备如下三个条件：

①有三项，分别是前项a^²，中间项2ab，后项b^²；

②前后两项带平方且相加；

③中间项是前后项底数a、b乘积的2倍。

这三个条件的特征可用口诀记为：

前平方，后平方，前后两倍在中间。

（注：这里的“前”、“后”是指不带平方的底数）

分解结果(a±b)^²是和差的平方，其中a与b是加是减与中间项2ab的符号同步，即如果中间项是 2ab，则结果为(a b)^²；如果中间项是-2ab，则结果为(a-b)^²。

例如，x^² 2x 1中，前是x的平方；后项1可看作是1的平方，所以后是1的平方；中间项2x恰好是前后x，1乘积的2倍。所以该多项式具备完全平方公式三个条件，可以分解为“前后和差的平方”(x 1)^².

又如，4x^²-4xy y^²中，前项4x^²可化为(2x)^²，所以前是2x的平方；后是y的平方；中间项4xy恰好是前后2x和y乘积的2倍。所以可用完全平方公式分解为(2x-y)^².

再比如，x^² 4x 1，虽然前是x的平方，后是1的平方，但中间4x不是前项x与后项1乘积的2倍，所以该多项式不具备完全平方公式条件，因此不能运用完全平方公式分解。

运用完全平方公式因式分解的关键有两点，首先是判断多项式是否具备公式条件？再者是确定前与后分别是什么(这里的所谓“前”、“后”是不包括平方的)？

例如，9a^²-12ab 4b^²，先把前后项分别写成平方，得：

原式=(3a)^²-12ab (2b)^²，

显然，该多项式满足“前平方，后平方”条件，接下来关键是判断中间项12ab是不是“前后乘积的两倍”？如果是，就满足公式条件；如果不是，就不满足公式条件。

因为前是3a，后是2b，前后乘积的两倍2·3a·2b=12ab，恰好是中间项，

所以该多项式满足公式条件，分解结果为“前3a减去后2b的平方”(3a-2b)^².

运用完全平方公式分解因式的一般步骤是：

（1）将前后平方项都写成(…)^²的形式，并分别置于前后；

（2）验证前后平方项底数乘积的2倍是否等于中间项？(这一步不需要写出来，心里验证就可以了)

（3）验证满足公式条件后，直接把多项式写成“前后和差的平方”即可。此时注意中间项的“符号”来确定是“和”？还是“差”？

例如，分解因式：x^² 9y^²-6xy。

解析：先把9y^²写成(3y)^²，并把它调整到最后位置，得：

原式= x^²-6xy (3y)^²；

前是x，后是3y，2·x·3y=6xy，恰好等于中间项6xy，又中间项是带负号“-”，所以分解结果是(x-3y)^²。

完整的解答过程是：

原式= x^²-6xy (3y)^²

=(x-3y)^²。

又如，分解因式：16x^²y^² 40xy 25.

解：原式=(4xy)^² 40xy 5^²

=(4xy 5)^².

公式中的a、b可以是单独一个字母，一个数，也可以是单项式，多项式等。不管它们是什么，记住“前平方”的“前”是什么，“后平方”的“后”是多少就可以了。

例如，分解因式：(a b)^²-8(a b) 16.

先把多项式化为(a b)^²-8(a b) 4^²，则前是(a b)，后是4，经验证符合完全平方公式，所以

原式=(a b)^²-8(a b) 4^²

=(a b-4)^².

运用完全平方公式因式分解与运用平方差公式分解一样，注意以下几点：

（1）有公因式的先提取公因式。

例如，分解因式：2a^³ 4a^² 2a。

解：原式=2a(a^² 2a 1)

=2a(a 1)^².

（2）平方项带负号“-”的先提取负号“-”。

例如，因式分解：4xy-4x^²-y^².

解：原式=-(4x^²-4xy y^²)

=-[(2x)^²-4xy y^²]

=-(2x-y)^².

（3）分解后要对因式化简、整理。

例如，分解因式：(a-2b)^² 2(a-2b)(a-b) (a-b)^².

解：原式=[(a-2b) (a-b)]^²

=(2a-3b)^².

（4）分解后有公因式的要提取公因式。

例如，分解因式：25(x 3y)^²-30(x 3y)(x-y) 9(x-y)^².

解：原式=[5(x 3y)]^²-30(x 3y)(x-y) [3(x-y)]^²

=[5(x 3y)-3(x-y)]^²

=(5x 15y-3x 3y)^²

=(2x 18y)^²

=[2(x 9y)]^²

=4(x 9y)^².

（5）分解后又符合公式条件的要继续用公式法分解。

例如，因式分解：a^⁴-8a^² 16.

解：原式=(a^²)^²-8a^² 4^²

=(a^²-4)^²

=[(a 2)(a-2)]^²

=(a 2)^²(a-2)².

（6）有分数系数时提取某个系数，创造用公式的条件。

例如，因式分解：2x^² 2x 1/2.

解（一）：原式=2(x^² x 1/4)

=2[x^² x (1/2)^²]

=2(x 1/2)^².

解（二）：原式=1/2·(4x^² 4x 1)

=1/2·[(2x)^² 4x 1]

=1/2·(2x 1)^².

（7）用平方差公式分解后再运用完全平方公式继续分解。

例如，分解因式：(a^² b^²)^²-4a^²b^².

解：原式=(a^² b^²)^²-(2ab)^²

=(a^² b^² 2ab)(a^² b^²-2ab)

=(a b)^²(a-b)^².

练习：把下列多项式因式分解：

（1）x^²-12x 36．

（2）4m³ 12mn 9mn^².

（3） x^⁴-2x^²y^² y^⁴．

（4）(x-1) ^² 4(1-x) 4.

（5）(a-b)^²-6(a-b)(a b) 9(a b)^².

（6）(a^² 1)^²-4a^².

（未完待续）

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