一题多解对于数学思维的培养（数学思维化归思想）

化归是转化和归结的意思，是数学学习中比较常用的思想方法。正是有了化归思想，许多复杂的、间接的数学问题才得以迎刃而解。

化归的根本原则就是“简单化”，这也是数学的魅力之一。

化归方法规贯穿整个学习过程，化归方法又很多种，其中最常用的是“一般化为特殊”。因为最早的数学发现，都是从“特殊”开始的，然后一步步演绎发展。

所谓特殊，就是存在明显的规律，容易找到现成的方法加以解决。按照前面我们讲过的逻辑思维的同一律原则，从一般到特殊，必须遵循等价变换的原则。

在小初中阶段，数学学习中有哪些“特殊”呢？这些“特殊”，包括数、形和图。今天就专讲特殊的数，前面在数感培养中已经有所提及：

（1）0：

两个相等的数相减，差为0； 如在判断两个数的大小时，可以对两个数求差。

0乘以任何数，乘积都为0。

任何数的零次方为1。

（2）1：

任何数乘以或者除以1，积或商仍为原数。

任何非零数除以自己，商为1。

1的n次乘方为1。

两个乘积为1的数互为倒数。

（3）10, 100等：

因为是十进制，与这些数相关的运算会非常简单。由此引出凑整法，通过凑整，可以让计算简化。如：

99 364=99 1 364-1

364X99=364X(100-1)

364X101=364X(100 1)

（4）其他如5、25、125：

5X2=10

25X4=100

125X8=1000

（5）在几何学习中，也要留意一些特殊的数：

30，45，60，90，120，135，180

这些是一些特殊的角度，背后隐含着一系列公式和定律。如，在几何证明题中，遇到30度角，应该很自然的想到，在直角三角形中，30度角的对边长度是斜边的一半。遇到60度角，可以设法构造等边三角形。等等。

进一步演绎，15、22.5这些角度也具有一定的特殊性，将这些角通过一定方式可以构建出30、45等特殊角度，或者在直角中扣减两个角的方式，构造出60、45等特殊角度。

（6）一个经典例题：

在正方形ABCD中，∠PAD和∠PDA分别为15°，求证：△PBC为正三角形。

分析与提示：

还是先从寻找“特殊”开始。先观察这个题目中有哪些特殊：由正方形ABCD，可以联想到四个角均为90°，边长相等。∠PDA为15°，则可以在∠CDA中构造出60°的角。

如下图所示，将PD沿D点旋转60°至GD，连接PG、CG，则△PDG为正三角形，∠GDC为15°，△APD与△CGD全等，∠GCD为15°，∠CGD为150°，∠PGC为150°，△PGC与△DGC全等，PC=DC，同理PB=AB。

又因为四边形为正方形，则PB=PC=BC，△PBC为正三角形。

化归思想在数学的发展中发挥了重要的作用，也将贯穿孩子们的数学学习过程。掌握了化归思想，许多的知识探索就会迎刃而解。学习化归思想，先从特殊的数开始吧！