图形学使用方法（图形之美2.0从猜测提问到归纳总结）

我们先来简单回顾一下图形之美1.0——从“试错法”到“向错误学习”的内容。

我们从绘制一条边开始 → 绘制正四边形、正三边形、正六边形 → 猜测正多边形外角和等于360度 → 验证猜测 → 绘制其他的正多边形 → 找到圆的绘制方法；

接着，我们绘制了正五角星 → 通过试错法找到了144°这个度数 → 也找到了145°为什么不正确的理由 → 追问自己，145°既然不是五角星所对应的外角，那么它是哪个图形的外角？

回归到试错法，尝试调整边的数目，第一次意外的收获 → 分析这个意外的收获 → 人为将误差放置于边长这个参数上 → 将边长与旋转度数同时进行误差积累，第二次意外的收获 → 得到彩色螺旋线的绘制方法；

最后，将放大与缩小的方法进行迁移，解决了两道数学题目。

但是，“145°对应哪个图形的外角”依然是遗留问题。

在《图形之美1.0》中，我们建构了一条新的理解路径，更加强调基本方法的梳理与应用，更加强调“可理解性”的概念，同时强调了能力的迁移。通过这种方式，对《彩色螺旋线》这节经典的编程案例课进行了重构。在《图形之美2.0》中，我们将在此基础之上继续探究。

一、绘制正七角星

那么，如何绘制一个正七角星呢？

思路：我们已经比较熟悉正五角星的绘制流程了，通过同样的方法可以寻找到正七角星的外角度数。如果你认为没有参照物就无法分析的话，那么建议你可以先阅读第二部分的内容，然后再回到第一部分来。

重复执行中的次数，表示图形的边数；

移动的步数，表示边长，控制图形的大小；

旋转的度数，其实控制的是图形的样子；

不断尝试旋转度数，直到102度。

102度有点小了，图形尚未闭合，试试103度。

仔细分辨，103度又有点过了。也就是说，真正的外角度数应该介乎于102度与103度之间。那么，我们该如何进一步修正，从而找到那个准确的度数呢？遇到困难先别着急，一定要记得回忆我们之前是否曾遇到过类似的问题，以及当时是如何解决的。

回忆一下，我们在绘制正多边形的时候，通过“身体共鸣”的方式，猜测出对于任意一个正多边形而言，从开始绘制到结束绘制，身体始终恰好旋转了一圈，也就是360度，然后我们得出“旋转度数等于360除以边数”这个公式。

同样的思路，我们也可以用类似身体共鸣的方式，找到正七角星的外角和度数。但是很快，我们就会发现，身体共鸣的方式似乎走不通，存在一个小小的困难（你可以尝试用身体走出一个七角星，就会发现问题所在）。

这里我们将提供两种不同形式的理解思路，来寻找正七角星的外角和。

第一种，还记得我们在《图形之美1.0》中，如何将绘制直线的过程可视化吗？

同样的道理，我们能否将旋转的过程可视化？

相信你一定已经想到了，只需要做出如下图所示的调整即可。

为了解决我们在“身体共鸣”时所遇到的困难，我们不妨派一个角色出场替我们完成“共鸣”（将隐藏的角色显示出来即可），我们看看效果：

怎么样，旋转的度数数清楚了吗？似乎有点混乱，又是移动又是旋转的。如果能把移动和旋转分开，不移动只旋转就好了。再一次回忆模型中三个参数的意义，我们可以尝试将移动的步数改为“0”步再试试看。

怎么样，是不是清晰多了(这其实就是单变量控制法)！呆鲤鱼一共旋转了差不多两圈。

如果一圈是360度的话，那么两圈应该是多少度呢？没错，是720度。我们尝试一下这个度数，它一共有相等的七个外角，因此外角的度数为"720/7"度。重新尝试。

完美。

在第一种方法中，我们实际上是派出一个角色替我们完成“身体共鸣”，从而达到观察的目的。

我们接着来看第二种方法，它非常简单直接。我们已经知道当外角等于103度时，得到的图形虽然并不是正七角星，但是也非常接近了。

那么，此时，这个非常接近正七角星的图形一共旋转了多少度呢？每次旋转103度，共旋转了7次，因此一共旋转了103*7=721度。

想一想，旋转一圈是360度，那721度旋转了几圈呢？应该是2圈多一点点，恰好多了1度。此时图形稍微过了一点，如果要修正的话，你愿意尝试多少度呢？当然是720度啦。验证过程同第一种情况，不再赘述。

这样我们就完成了正七角星的绘制。正当我们开始准备换新任务的时候，有一个同学发现了一件有趣的事情。他说他发现了另外一个正七角星。我们看看他那里究竟发生了什么？

旋转度数为154度时，

旋转度数为155度时，

的确，这个正七角星不同于之前那个正七角星，但同样出现了要么差一点要么过一点的情形。

我们赶紧试试刚才学过的那两种方法，先把这个正七角星“修复”一下。这里用第二种方法进行修复：155*7=1085，最接近的圈数是三圈，而三圈等于1080度，因此将旋转度数修正为"1080/7"度。

完美！

可是，这是怎么回事呢？为什么会有两个不同的正七角星呢？按照自然的想法，是否还存在第三个不同样子的正七角星呢？似乎很难回答的样子。

我们重新回到绘制正七角星的过程上面来。在《图形之美1.0》的时候，所有的图形绘制任务，都是先有图形，然后再进行模仿绘制。因此，我们可以采用“先分析再绘制”的方法。但在这里，并没有给出具体的样子，而是通过“试错法”找到的。

那，正七角星有没有办法先在纸上画出来，然后进行直观地分析呢？

二、纸上绘制正多角星

重新描述前面的问题，如何把没有见过的正多角星在纸上先画出来呢？要回答这个问题，我们不得不回到五角星中进行分析。

注意，这个时候你还没有见过正七角星！

思考，正五角星与正五边形的关系是什么？

所谓关系，就是能否通过其中一个“抵达”另外一个？比如从一个正五角星出发，如何得到一个正五边形呢？我们很容易发现该五角星的内部其实就是一个正五边形。如果刚才的发现是通过观察“内部”得到的，那么如何通过“外部”获得一个新的正五边形呢？

如上图所示，只需要将五角星的顶点依次连线即可得到一个正五边形。这说明什么？

这说明了，我们可以通过绘制正五角星的方式间接得到一个正五边形。我们找到了一条从正五角星到正五边形的路。那么，反过来，能不能通过正五边形得到一个正五角星呢？

如上图所示，只需要把正五边形的每条边分别向两端延长，直至与另一条边的延长线相交，即可得到一个正五角星。

这样，我们就可以通过五边形来绘制正五角星。换句话说，我们找到了一个方法，这个方法能够通过正多边形绘制出正多角星。我们验证一下这个方法。

从正六边形到正六角星，

似乎这并不是我们期望的六角星的样子，因为这个图形是由两个三角形组成的，不能一笔画。

没错，这个图形正是前面我们通过试错法找到那个正七角星。

我们按照之前的思路，用这种方法去分别尝试绘制n=8、9、10、12、20、36……的情形，就能得到相应的正多角星。等等，正三十六边形，用手画的话，太费劲了。正六、正七边形已经画的是歪歪扭扭的了，正三十六边形，想想都想放弃了。怎么办？

怎么办？先别着急。还记得在《图形之美1.0》中，随着边数的增大，正多边形越来越像什么吗？

对了，正多边形会越来越像一个圆。我们刚才已经学会通过正五边形与正五角星的关系来理解它们了，那正多边形和圆的关系又是什么呢？

上图揭示了正多边形与圆（实际上是它的外接圆）的关系，我们将从两个方面考察这一点。

一方面是从正多边形到圆，我们只需要把每一条边替换为圆弧，就能得到圆。

另一方面是从圆到正多边形，正多边形的顶点实际上恰好就是整个圆周的等分点。也就是说，假设n=5，我们可以先画一个完整的圆，然后将圆周进行五等分得到五个点，然后依次连接这五个点，就能得到正五边形。

我们再次以正七角星为例。

我们可以通过这样的方式在纸上画出正多角星了！

三、探究正多角星数目

在第一部分中，我们发现了两个不同的正七角星；在第二部分中，我们找到了“圆→正多边形→正多角星”的绘制路线；我们将圆、正七边形、正七角星放在一起观察一下。

对于同样的7个点，按照1-2-3-4-5-6-7-1的顺序画弧，得到的就是一个圆（黑色）；按照1-2-3-4-5-6-7-1的顺序连线，得到的就是一个正多边形（蓝色）；按照1-3-5-7-2-4-6-1的顺序连线，得到的就是我们之前找到的正七角星（红色）。

我们找到了比刚才更加优化的一个做图方法：先描点再连线，不同的连线顺序就能得到不同的图形。

那么，另外一个正七角星也能通过这样的方式绘制出来吗？验证一下。

果然可以，是1-4-7-3-6-2-5-1的顺序，和之前的顺序不同。也恰恰是因为连点的顺序不同，所以最终得到了不同的图形。

因此，我们找到了一个方式，而这种方式可以解释之前那两个不同的正七角星的来源问题，因此这种方式更具有解释力。

我们按照逆时针的顺序对圆周上的点按自然顺序(1、2、3……)进行标号。从标号为“1”的点开始，

• 每一个点依次与“ 1”标号的点相连则得到正多边形；

• 每一个点依次与“ 2”标号的点相连得到了正七角星；

• 每一个点依次与“ 3”标号的点相连得到了另一种正七角星。

接下来，很自然的一个问题，如果分别与“ 4”的点、“ 5”的点、“ 6”的点相连会得到什么样的图形呢？

注意：这里不能与“ 7”的点相连，因为从标号为“1”的点开始数，“ 7”就会回到自身；且这里默认为取余运算，也就是说8和1关于7是同余的，所谓关于7同余指的是1除以7的余数与8除以7的余数是相同。

我们按照这种方式，重新验证n=5、6、8、9、10、11的情形，结果如下图所示。

这样，即便是面对任意一个正多角形，我们也有自信将其画出来了！

我们仔细观察这张图，将注意力聚焦在画横线的那些图上，也就是不能一笔画出的正多角星。其实，“正多角星”这个名称已经不准确了，因为它表示的图形并不唯一，我们需要构建一个新的名字来描述它们。

不难发现，所有无法一笔画出的构图方式与n的取值之间都存在着某种联系。当构图方式（ 2）恰好能被n（=6）整除的时候，是无法绘制的，此时恰好是2个3（=6/2）角形。

猜想：对于任意的n，分别考察1/n、2/n、3/n……。当k/n无法约分的时候，存在相应的正多角星；否则，当k/n可以约分的时候，不存在能够一笔画出的正多角星。

鉴于正多角星无法唯一的表示图形，且正多角星本身也是正多边形。不妨给出如下的新定义。

第k型正多边形：当k/n无法约分时，我们将通过“ k”连边方式得到的图形称为第k型正多边形。

例如，第1型正多边形就是我们很熟悉的正多边形，而第2型正五边形其实就是正五角星。

至此，我们虽然尚未能找到一个准确的计数公式，去计算对于任意的n，不同类型的正多边形的数目。但是，我们却能够通过这种方式绘制出所有类型的正多边形。

想一想，你能编写一个程序完成这个绘制任务吗？

四、145度的正多边形？

既然已经找到了各个正多角星，接下来就需要通过编程逐一绘制了。

先使用“试错法”找到各个图形大概旋转的角度，然后通过“直接计算法”或者“(等价)身体共鸣”的方式进行优化调整，直至找到各个图形旋转度数的准确值，然后将各个图形对应的外角和并填入下方的表格中。

在上表中，我们很容易看到，

第1型正多边形的外角和总是等于360度；

第2型正多边形（如果存在的话）的外角和总是等于720度，而720恰好等于360*2；

第3型正多边形（如果存在的话）的外角和总是等于1080度，而1080恰好等于360*3；

第4型正多边形（如果存在的话）的外角和总是等于1440度，而1440恰好等于360*4……

猜想：如果k/n是最简分数，那么第k型正n边形的外角和等于360*k度。

最后，我们回到上节课遗留的问题，145度对应的正多边形是？如果第k型正n边形对应的外角度数恰好为145度，根据上述猜想，我们应该尝试使等式145*n=360*k成立的n和k。

因此，k=145*n/360，换句话说，我们只需要找到使得“145*n/360”为整数的最小整数n即可。

不论是手算还是通过编程来计算，我们都能得到当n=72时，145*72/360=29，这说明了，第29型正72边形对应的外角恰好是145度。

小结

上述过程其实是一个由好奇心出发，通过“关系”的角度提出关键问题，用已有的方法进行类比探究，最后通过结构化框架进行知识梳理与总结的过程。

我们不妨重新梳理一下，学生在上述过程中可能获得的：

1、找到了“身体共鸣”的一种等价方式；

2、将旋转的过程进行可视化；

3、单变量控制法；

4、对于360的整数倍的敏感程度（这其实就是一种数感，例如熟记π、2π、3π……）；

5、新问题与旧问题进行关联的方法（这其实就是模式匹配，是计算思维的重要内容之一）；

6、从正五角星与正五边形的相互关系出发进行提问和学习的方法；

7、从圆到正多边形，再到正多角星的作图方法；

8、通过n等分一个圆周得到n个点，按照固定次序连点的作图方法；

9、通过分析n=5、6、7、8、9、10、11这些具体的案例，再用表格的形式进行归纳整理，从而提取关键信息的方法；

10、提出猜想、并进行验证的方法；

11、创造概念的方法（描述）；

最后，留两个思考题：

1、正五角星的外角和是720度，那么在圆周上任意找五个点作五角星，它的外角和还是720度吗？进一步，任意大小的五角星外角和还是720度吗？

2、通过五边形可以画五角星，通过五角星可以画新的五边形，通过新的五边形可以再过一个新的五角星……这个过程可以一直重复下去。那么，这种不断迭代的图形长什么样子呢？

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