铅垂法求三角形面积最大值习题（铅垂法求面积最值问题探究）

专题导入

导例：抛物线y=交x轴正半轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3），且这个抛物线的顶点为C．连接AB、AC、BC，则抛物线的对称轴为直线 ，线段CD的长为 ，△ABC的面积为 ．

导例答案：x= 2 3．

方法点睛

如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S△PAB＝·PQ·，根据二次函数解析式设出点P的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q的坐标，从而转化为S与点P横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ最大时，S△PAB取得最大值．

典例精讲

类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值

例1 在平面直角坐标系中，直线y=x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=x2 bx c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图，连接DC，D

B，设△BCD的面积为S，求S的最大值.

【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，

设抛物线的解析式为y=（x-4）（x-m），将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2-x-2），则DF=-x2 2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可．

类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积

例2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为直线x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)探究:当动点N在对称轴l上时，是否存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，若存在，请求出此时点P的坐标，若不不存，请说明理由；

(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM=BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

专题过关

1．如图，抛物线y=ax2 bx c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式．

2.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．

3．如图，已知二次函数y=ax2 bx 3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

备用图

4.如图，在平面直角坐标系中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A,B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

5．已知直线y=x 2分别交x轴、y轴于A，B两点，抛物线y=x2 mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；

（3）如图2，经过点M（﹣4

，1）的直线交抛物线于点P，Q，连接CP，CQ分别交y轴于点E，F，求OE•OF的值．

专题一：二次函数中的三角形面积最值问题 答案

例1 （1）把x=0代y=x﹣2得y=﹣2，∴C（0，﹣2）．

把y=0代y=x﹣2得x=4，∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入，得2m=﹣2．

解得m=﹣1．∴A（﹣1，0）．

∴抛物线的解析式y=（x﹣4）（x 1），即y=x2﹣x﹣2．

（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．

设D（x，x2-x-2），则F（x，x-2），DF=（x-2）-（x2-x-2）=-x2 2x．∴S△BCD=OB•DF=×4×（-x2 2x）=-x2 4x=-（x2-4x 4-4）=-（x-2）2 4．∴当x=2时，S有最大值，最大值为4．此时点Q为线段AB的中点.

例2.(1)y＝x2＋2x－3；∵A(1，0)，对称轴L为直线x＝－1，

∴B(－3，0)，将AB两点坐标代入得，

∴，解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.

(2)如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，连接BP，过点B作BN⊥PB交直线L于点N，

设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，

第6题解图①∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.

∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°.∴∠BPM＝∠NBQ.又∵PB＝NB，

∴△BPM≌△NBQ.∴PM＝BQ.由(1)得y＝x2＋2x－3，∴Q(－1，0)，B(－3，0)

∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.

∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为－2，

将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，

解得x1＝－1－，x2＝－1＋ (不合题意，舍去) ．∴点P的坐标为(－1－，－2)；

(3)存在．如解图②，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PD∥y轴交BC于点D，

图②

∵A(1，0)，B(－3，0)，C(0，－3)，∴S△ABC＝×3×4＝6．

直线BC的解析式为y＝－x－3.

设P(t，t2＋2t－3)，则D(t，－t－3)，

∴S△BPC＝×3×(－t－3－t 2－2 t ＋3)＝－t2－t，

∴S四边形PBAC＝－t2－t＋6＝－ (t＋)2＋，

当t＝－时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为.此时点P的坐标为(－，－)．

专题过关

2．（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y=ax2 bx c，得

解得a=﹣，b=，c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2 x 2．

（2）设点P的坐标为（t，﹣t2 t 2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4．

∴S=AB•PD=×4×（﹣t2 t 2）=﹣t2 t 4（0＜t＜3）．

3.(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)，

∴∴，　∴抛物线的函数解析式为y＝x2－4x－5；

(2)∵OB＝OC＝5，∴∠ABC＝∠OCB＝45°．

∴以B，C，D三点为顶点的三角形要与△ABC相似，必须要有一个角等于45°.

(ⅰ)当点D在点C的下方时，∠BCD＝180°－45°＝135°，

∴不会出现45°角，∴此种情况不存在；

(ⅱ)当点D在点C的上方时，∠BCD＝45°，易得BC＝OB＝5，AB＝OA＋OB＝1＋5＝6，

存在两种情况：①当△BCD∽△ABC时，，

即＝．∴CD＝，OD＝CD－OC＝－5＝．∴D(0，)；

②当△DCB∽△ABC时，=，即＝．∴CD＝6，OD＝CD－OC＝6－5＝1．

∴点D(0，1) ．

综上所述，点D的坐标为(0，1)或(0，)时，以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似；

(3)由y＝x2－4x－5，当y＝－5时，x2－4x－5＝－5，解得x1＝0，x2＝4．

∴E(4，－5) ．∴CE＝4．

设H(a，a2－4a－5) ．∵点H是在直线CE下方抛物线上的动点，

∴0＜a＜4.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

把点B(5，0)，C(0，－5)代入得

解得∴直线BC的解析式为y＝x－5．

设点F(a，a－5)，∴FH＝a－5－(a2－4a－5)＝－a2＋5a．

∵CE⊥FH，∴S四边形CHEF＝CE·FH＝－2a2＋10a＝－2(a－)2＋．

∵0＜a＜4，∴当a＝时，四边形CHEF面积有最大值，最大值是，此时H(，－)．

4．（1）将A（1，0）

，B（3，0）代入函数解析式，得

解得∴这个二次函数的解析式为y=x2－4x 3；

（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3）．

设BC的解析式为y=kx b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析是为y=﹣x 3．

过点P作PE∥y轴，设交直线BC于点E坐标为（t，﹣t 3）．

∴PE=﹣t 3﹣（t﹣4t 3）=﹣t2 3t．∴S△BCP=S△BPE SCPE=（﹣t2 3t）×3=﹣（t﹣）2 ．

∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=．

（3）设M（m，﹣m 3），N（m，m2﹣4m 3）．

∴MN=m2﹣3m，BM=|m﹣3|．

当MN=BM时，①m2﹣3m=（m﹣3），解得m=．

②m2﹣3m=﹣（m﹣3），解得m=﹣．当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°．

m2﹣4m 3=0，解得m=1或m=3（舍去）；

当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m 3）=﹣m 3，解得m=2或m=3（舍去）；

当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．

5.（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x 1），∵m≠0，∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3．

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2 bx c，将A，B，C三点的坐标代入得：

解得故C1：y=x2﹣x﹣．

如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q．

由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，

设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2 x，

S△PBC=PQ•OB=×（﹣x2 x）×3=﹣（x﹣）2 ，

当x=时，S△PBC有最大值，Smax=．此时y=×（）2﹣﹣=﹣，∴P（，﹣）；

（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，

顶点M坐标（1，﹣4m）,当x=0时，y=﹣3m．∴D（0，﹣3m），B（3，0）．

∴DM2=（0﹣1）2 （﹣3m 4m）2=m2 1，

MB2=（3﹣1）2 （0 4m）2=16m2 4，

BD2=（3﹣0）2 （0 3m）2=9m2 9．

当△BDM为Rt△时有：DM2 BD2=MB2或DM2 MB2=BD2．

①DM2 BD2=MB2时有：m2 1 9m2 9=16m2 4，

解

得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM2 MB2=BD2时有：m2 1 16m2 4=19m2 9，

解得m=﹣（m=舍去）．

综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．

1．（1）把y=0代入y=x 2得：0=x 2，解得：x=﹣4，∴A（﹣4，0）．

把点A的坐标代入y=x2 mx﹣2得：m=，∴抛物线的解析式为y=x2 x﹣2．

（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，

设D（n，n2 n﹣2），H（n，n 2）．∴DH=（n 2）﹣（n2 n﹣2）=﹣（n 1）2 ．

∴当n=﹣1时，DH最大，最大值为，此时△ABD面积最大，最大值为××4=9．

（3）把y=0代入 y=x2 x﹣2，得：x2 3x﹣4=0，解得x=1或x=﹣4．∴C（1,0）.

设直线CQ的解析式为y=ax-a，CP的解析式为y=bx-b.则解得或∴xQ=2a-4.同理xP=2b-4.

设直线PQ的解析式为y=kx b，把M（﹣4，1）代入得：y=kx 4k 1．

∴．∴x2 （3﹣2k）x﹣8k﹣6=0．

∴xQ xP=2a﹣4 2b﹣4=2k﹣3，xQ•xP=（2a﹣4）（2b﹣4）=﹣8k﹣6．

解得ab=﹣．又∵OE=﹣b，OF=a，∴OE•OF=﹣ab=．

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