中考数学压轴题不会真的是笨吗（中考数学也玩心理战）

这是一道雷声大，雨点小的中考数学压轴题。题目的内容看起来十分高大上，解决起来却非常简单，是一道关于黄金分割的题目，在中考数学中算是比较少见的。

德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”。

如图①，点C把线段AB分成两部分，如果CB/AC=(√5-1)/2≈0.618, 那么称点C为线段的黄金分割点。

(1)特例感知：在图①中，若AB=100，求AC的长；

(2)知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；

①作两条相互垂直的直径MN、AI；

②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；

③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形。

在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；

(3)拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系。

延长(2)中的正五边形ABCDE的各条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72度的值.

题目这么长，一开头就搬出天文学家开普勒的名号，这是玩心理战吗？没有过硬功底的考生，这样的题目看一眼，都有可能直接晕掉投降了。不过这道题其实相当简单，作为一道压轴题，整道题可以说都是送分的。

解：(1)CB/AC=(AB-AC)/AC=(100-AC)/AC=(根号5-1)/2,

解得：AC=50根号5-50≈61.8.【建议尽可能保持与题干的数据格式一致，就是先求出准确值，再求出近似数】

(2)点Q是线段OM的黄金分割点，理由如下,

设⊙O的半径为R，则OP=R/2，

PQ=AP=根号(AP^2 OP^2)=根号5 R/2，

MQ/OQ=(3-根号5)/(根号5-1)=(根号5-1)/2，

∴点Q是线段OM的黄金分割点.

(3)连接AD，过A作AF⊥PE于点F, 连接AD

记PD=2，则PA=PE=根号5-1，AE=DE=PD-PE=3-根号5，【一般记PD为1，或为常数a，老黄这里记为2，能避免计算中的很多麻烦。同时老黄还运用了正五边形是旋转对称图形的性质 ，得到的PA=PE和AE=DE的关系】

正五边形ABCDE中，∠AED=108度，∠AEP=180度-∠AED=72度，

∠ADE=(180⁰-∠AED)/2=36度，∴∠ADE=∠P，【五角星的五个角都是36度。如果不知道五角星的这个性质，就运用等腰三角形已知底角求顶角的知识来求就可以了。】

∴DF=PD/2=1，【等腰三角形底边“三线合一”的性质】

EF=DF-DE=根号5-2，

cos∠AEP=EF/AE=(根号5-2)/(3-根号5)=(根号5-1)/4.

即cos72度=(根号5-1)/4≈0.309.

可能是因为题目中涉及到一些新知识，和比较少用的知识，所以出题人不想把题目出得太难，就变得很容易了。这样的中考数学压轴题，你喜欢吗？