高考数学解三角实际应用（辅助角公式在高考三角题中的应用）

对于形如y=asinx bcosx的三角式，可变形如下：

y=asinx bcosx

。由于上式中的

与

的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则

由此我们得到结论：

asinx bcosx=

，（*）其中θ由

来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(

) k的形式。

下面就辅助角公式的应用，举例分类简析。

一. 求周期

例1、求函数

的最小正周期。解：

所以函数y的最小正周期T=π。

将三角式化为y=Asin(

) k的形式，是求周期的主要途径。

二. 求最值

例2. 已知函数f(x)=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x。若

，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos²x sin²x)(cos²x-sin²x)-sin2x=cos2x-sin2x=

。由

。当

，即x=0时，

最小值

；当

时取最大值1。从而f(x)在

上的最大值是1，最小值是

。

三. 求单调区间

例3. 已知向量

，

，令

，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。解：

先由

。反之再由

。所以f(x)在

上单调递增，在

上单调递减。

以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx ) k的形式，是求单调区间的通法。

四. 求值域

例4. 求函数

的值域。^解：

所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

五. 画图象

例5. 已知函数f(x)=2sinx(sinx cosx)，画出函数y=f(x)在区间

上的图象。解：

由条件

。

列表如下

				0
	2	1		1		2

描点连线，图象略。

六. 图象对称问题

例6. 如果函数y=sin2x acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=

（A）

（B）

（C）1

（D）-1

解：可化为

知

时，y取得最值

，即

七. 图象变换

例7、已知函数

该函数的图象可由

的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：

可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：

（1）向左平移

，得到y=sin(x )的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得y=

的图象；

（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x )的图象；

（4）将（3）中所得图象向上平移

个单位长度，得到y=sin(2x ) 的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=

的图象。

八. 求值

例8. 已知函数f(x)=

sinxcosx。设α∈（0，π），f(

)=

，求sinα的值。解：f(x)=

=sin

。由f=sin(

)

，得sin=

。又α∈（0，π）

。而sin

，故α

，则cos(α )=

。sinα=sin[

]=sin

=

=

。

化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α ）-，并且判断出α 的范围，进而求出cos(α )的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。

九. 求系数

例9. 若函数f(x)=

的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x)=

=

=

，其中角由sin=

来确定。由已知有

，解得a=

。

十. 解三角不等式

例10. 已知函数f(x)=sin²x sin2x，x

，求使f(x)为正值的x的集合。

解：f(x)=1-cos2x sin2x

=1

。由f(x)＞0，有sin

2x-

则得2kπ-

，故kπ＜x＜kπ

。再由x

[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是

。

,