向量点面距离公式推导（大学数学第一二型曲面积分）

两类线面积分一直都是考查重点，主要考查各类线面积分的计算，这部分重点是第二类积分的计算、平面曲线积分与路径无关的判定和相关计算与证明，要熟练掌握与格林公式、高斯公式相关的各类题型及思路、方法、技巧等。第一类积分考查相对较少，且难度不大。重点在第Ⅱ类线面积分的计算。

之前的文章讲了有关第Ⅰ、Ⅱ型曲线积分的相关方法，主要为格林公式，变换路径等，详见上篇文章。今天讲讲第Ⅰ、Ⅱ型曲面积分的相关知识。主要方法有：第Ⅰ类曲面积分直接法（一投二代三换），第Ⅱ类曲面积分直接法（一投二代三定号），巧用奇偶性、对称性化简，利用边界可代入，利用形心公式，利用高斯公式，补面、挖点用高斯公式，斯托克斯公式等。

1.第Ⅰ型曲面积分（对面积的曲面积分），与积分曲面方向无关，物理意义为曲面片的质量。

2.第Ⅱ型曲面积分（对坐标的曲面积分），有正负方向，与积分曲面方向有关，物理意义为流体流向曲面一侧的流量，即一个向量函数（例如速度场v（x,y,z））通过某有向曲面的通量。所以计算时应当注意方向，补面应当标注方向。

使用高斯公式之前应当观察积分区域是否为光滑有向封闭曲面，被积函数在封闭曲面所围空间区域Ω上一阶连续偏导数是否存在，还要看看Ω内是否存在奇点（无定义）。若不是封闭曲面，封闭后再用高斯公式，另外要相应减去补的面的积分，若存在奇点，则挖去后在复连通区域使用高斯公式。

如果怎么也用不了高斯公式，则应当拆分积分区域改用投影法。

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