长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(1)

一个长方体有8个点顶,12条棱,6个面。

若把顶点和面的数量相加,比棱的数量多2。

如果用分别用V,E,F表示一个多面体(要满足一定的条件,在此不讨论),则有:

V-E F=2

这是欧拉定理。

用变与不变的思想来看欧拉定理,是说多面体是可以变化的,从而V,E,F都是可以变化的,但在变化的过程中,V-E F是一个不变量。

我们要讨论的问题的,一个平面上的、与欧拉定理相关的结论。

如下图:

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(2)

平面上有一些点,将这些点用线段连起来,可以得到一个图,我们同样讨论图中的点、边(线段)和面(封闭的区域)数。

以这个图为例,有8个顶点,12条边和5个面。

8 5-12=1

我们要来说明,一个这样的图,顶点数与面数的和,总是比边数多1的。

(印象中一次全国性小学数学竞赛中出过类似的题)

图有无穷多种,情况非常复杂,如果能说明这个一般的结论也是正确的呢?

下面的说明也很机智。

对于任何一个图,我们可以这样做:

(1)通过添对角线的办法,把每一个区域都变成三角形,如下图:

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(3)

容易发现,每添加这样一条对角线,图的顶点数没有变,边增加了一条,而一条边把原来的一个面分成了两个,也就是面也增加了一个。

这样,顶点 面-边的值就不会发生变化。

(2)我们现在要来减少三角形的个数。通过取掉一些边达到目的。

如果一个三角形只有一条边在边界上,就先取掉边界上这条边:

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(4)

容易发现,少了一条边,同时少了一个面。因此,顶点 面-边的值不会发生变化。

我们再取掉一条:

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(5)

同样是减少一条边和一个面。

这时,出现了一种三角形,它有两条边都在边界上:

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(6)

我们把这两条边界上的边都去掉。

长方体的棱长总和用字母公式(从长方体的顶点)(7)

容易发现,减少两条边,一个面,一个顶点。顶点 面-边的值不会发生变化。

(3)按一定的顺序,这样一个个三角形去掉,直到最后只剩一个三角形。

此时:三个顶点,三条边,一个面。点 面-边=3 1-3=1。

因为在上述操作中,点 面-边的值一直保持不变,所以原来的图,同样有:

点 面-边=1

,

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