长方体的棱长总和用字母公式（从长方体的顶点）

一个长方体有8个点顶，12条棱，6个面。

若把顶点和面的数量相加，比棱的数量多2。

如果用分别用V，E，F表示一个多面体（要满足一定的条件，在此不讨论），则有：

V-E F=2

这是欧拉定理。

用变与不变的思想来看欧拉定理，是说多面体是可以变化的，从而V，E，F都是可以变化的，但在变化的过程中，V-E F是一个不变量。

我们要讨论的问题的，一个平面上的、与欧拉定理相关的结论。

如下图：

平面上有一些点，将这些点用线段连起来，可以得到一个图，我们同样讨论图中的点、边（线段）和面（封闭的区域）数。

以这个图为例，有8个顶点，12条边和5个面。

8 5-12=1

我们要来说明，一个这样的图，顶点数与面数的和，总是比边数多1的。

（印象中一次全国性小学数学竞赛中出过类似的题）

图有无穷多种，情况非常复杂，如果能说明这个一般的结论也是正确的呢？

下面的说明也很机智。

对于任何一个图，我们可以这样做：

（1）通过添对角线的办法，把每一个区域都变成三角形，如下图：

容易发现，每添加这样一条对角线，图的顶点数没有变，边增加了一条，而一条边把原来的一个面分成了两个，也就是面也增加了一个。

这样，顶点 面-边的值就不会发生变化。

（2）我们现在要来减少三角形的个数。通过取掉一些边达到目的。

如果一个三角形只有一条边在边界上，就先取掉边界上这条边：

容易发现，少了一条边，同时少了一个面。因此，顶点 面-边的值不会发生变化。

我们再取掉一条：

同样是减少一条边和一个面。

这时，出现了一种三角形，它有两条边都在边界上：

我们把这两条边界上的边都去掉。

容易发现，减少两条边，一个面，一个顶点。顶点 面-边的值不会发生变化。

（3）按一定的顺序，这样一个个三角形去掉，直到最后只剩一个三角形。

此时：三个顶点，三条边，一个面。点 面-边=3 1-3=1。

因为在上述操作中，点 面-边的值一直保持不变，所以原来的图，同样有：

点 面-边=1