考研数学2考无穷级数吗（考研数学函数项级数一致收敛的判定方法）

函数列与函数项级数（二）

在上一期我们聊了一下函数列以及它的收敛性，在这一期我们将讨论如何判定函数列的一致收敛。为了大家能够更好地理解下面的内容，我们先回忆一下函数列一致收敛的定义。

一致收敛的定义：我们首先给出一致收敛的定义：设函数列 与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有

＜ε

则称函数列

在D上一致收敛于f，记作

判断一致收敛的方法有两个：

1.柯西一致收敛判别准则

函数列在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给正数ε，总存在正数N，使得当n、m＞N时，对一切x∈D，都有

＜ε

当一个函数列一致收敛于函数时，根据一致收敛的定义我们可以知道若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有

＜ε

必然也会存在一个正数m，且m﹥N但是n≠m，使得 ＜ε

所以，=

≤

＜ε ε=2ε

从而 ＜2ε

为了方便结果的好看我们可以令 ＜， ＜

这样就有了 ＜ε

当一个函数列满足条件“对任给正数ε，总存在正数N，使得当n、m＞N时，对一切x∈D，都有 ＜ε”时，我们可以联想到数列收敛的柯西准则，

我们任取∈D，则数列有

当n、m＞N时，有 ＜ε

所以数列收敛

令,则＜ε

由于是我们在D中任意取的一个数，所以对任意一个x∈D都满足

＜ε再根据函数列一致收敛的定义可知函数列在数集D上一致收敛。

2.函数列在数集D上一致收敛于函数的充要条件为：

＜ε,x∈D

这个定理是最常用的，前提是我们必须知道函数列的具体表达式。

当函数列在数集D上一致收敛于函数时，根据函数列一致收敛的定义我们有

对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，对一切x∈D，都有

＜ε

所以，再根据上确界的定义我们可以得到＜ε

从而有 ＜ε

当函数列满足条件“＜ε,x∈D ”时，我们可以知道

对任意ε＞0，存在N，当n＞N时，有 ＜ε，x∈D

所以，当n趋近于无穷大时，我们有

≤ ＜ε，x∈D

所以， ＜ε

根据函数列一致收敛的定义可知，函数列一致收敛于函数。

在下一期我们将要讨论函数项级