微积分求1-1000的和（1-x2）

网友提问√(1-x^2)的定积分怎么求，但他没有说上下限，一般在区间[-1,1]上，即它的定义域上求这个定积分，当然，我们也可以用a,b表示上下限。

定积分的几何意义其实是曲线y=√(1-x^2)，x=a, x=b与x轴围成的面积。而f(x)=√(1-x^2)是一个偶函数，它的图像是关于y轴对称的，因此我们可以只探究第一象限内的情况，所以我们可以把下限设为0，求出第一象限上的积分，根据它的对称性，就可以得到第二象限的积分，如果是对称区间，则结果乘以2。

定积分是建立在不定积分的基础上的，因此我们可以先求√(1-x^2)的不定积分∫√(1-x^2)dx. 求这个积分要用到第二换元法，就是记x=sint，这是因为函数f(x)=√(1-x^2)的定义域在[-1,1]，所以才可以这样换元。那么就有dx=dsint=costdt, 而√(1-x^2)=√(1-(sint)^2)=cost.

这样通过换元之后，积分就变成了∫(cost)^2dt. 然后利用cos2t=2(cost)^2-1，可以转化得到(cost)^2=（cos2t 1）/2. 原积分就等于1/2 ∫（cos2t 1）dt. 其中∫（cos2t 1）dt=∫cos2tdt ∫dt. 这是积分的和的公式。

又∫dt=t=arcsinx C1；

∫cos2tdt=1/2 ∫cos2td2t=sin2t /2 C2=sintcost C2=sint√(1-(sint)^2) C2=x√(1-x^2) C2。

所以原积分=(arcsinx x√(1-x^2))/2 C.

假如要求函数在[-1,1]上的定积分，则只需求函数在[0,1]上的定积分，结果等于(arcsin1-arcsin0)/2=π/4. 因此在[-1,1]上的定积分是π/2.