三个小时搞定线性代数（趣味线性代数四）

上一篇趣味线性代数（三），矩阵有两种向量，分清楚的同学都能考高分里，我们解析了两种不同向量的区别。这一篇我们将详细解析与之相关的概念：线性相关。

线性相关定义如下：

设有n维向量组,如果存在一组不全为o的数,使

,则称该向量组线性相关。

许多小伙伴学习到这里就无限懵逼：相关什么？为什么相关？谁来翻译翻译什么叫相关？！

不明白没关系，听我讲个故事，你就通透了。

先看下面这张图，我们看图讲故事。

话说XOY平面是一片清平大地，上帝看着这片清平大地很开心，决定创造两个亚当和两个夏娃，让他们组建两个家庭好好过日子。

假设X轴代表男性，Y轴代表女性。男一女一组建一号家庭（）,对应坐标以及向量（4，2）；男二女二组建二号家庭（）,对应坐标以及向量（1，3）。

有一天，一号家庭（）觉得很无聊，两口子一商量，要不咱新建一个垂直向量（）玩吧。因为相互垂直的向量的内积为零，就有：。

结果这事让二号家庭知道了，二号家庭就不干了，要建可以，得跟我们一起垂直，即

。

两家都是大聪明，把两个方程式凑成了方程组：

解方程组，都为0，那不就是原点嘛！结果两家都不开心。

这一切被上帝看在眼里，但祂的视角很独特。“这不是两个家庭（）和（）的矛盾，而是两男（）和两女（）的矛盾，两男和两女的相处不和谐啊（线性无关）”，上帝感叹道。

于是，上帝大发慈悲，又创造了两只狗子，狗子非男非女，记作（0，0）。从此，天上的神看地上，是两男（）、两女（）和两狗子（0，0），而地上的人看自己是两个新家庭（）和（）。

有了两只狗子的加入，两个家庭决定再努力一把，重建一次垂直向量！于是有

解方程组还是0，但不为0，取任意实数t都可以，那向量（0，0，t）就是两家都想要的那个垂直向量，且恰好与Z轴共线，狗子虽然自身为0，但它开拓了新的维度空间！从此，地上的人（）和（）很开心：终于建成我们想要的垂直向量了；天上的神也很欣慰：两男（）、两女（）和两狗子（0，0）在一起就是和谐哈（线性相关）！

对于线性相关而言，上帝的视角就是线性相关的概念，它是比较抽象的。而从人类的视角看，线性相关的几何逻辑却是清晰可见的。

两条不共线的直线，可以撑起一个二维空间（平面）；这就要求两条向量线段的夹角不能为0或180度。那么向量和线性不相关，例如上面的向量（4，2）和（1，3）。这种情况，我们可以说向量组所在的维度空间是饱满的，反之，饱满的维度空间里的向量组是线性无关的。以此类推，三维空间里两两向量组成的平面的夹角、四维空间里三三向量组成的立体的夹角，也决定了它们各自空间里的向量组是否线性相关。

有一种情况，我们可以直接判定一组向量是否线性相关，就向量线段个数少于空间维度数的情况，像下面这组向量（以矩阵形式写出）：

列数表示向量线段的个数，行数表示向量空间的维度数。三维空间里只有两条线，显然可以再画一条直，与它们都垂直。或者说至少有两两不共线、三者不共面的三条直线才能撑起三维空间，当前只有两条，向量空间不饱满。所以，这三个向量是线性相关的。

另外，当一个向量空间不饱满时，对应行列式的计算结果，好比要你计算纸箱里一个立方体的体积，结果打开纸箱，里面是张纸片，体积计算就无从谈起了。所以，要判定线性相关，计算相应的行列式即可，时，向量组线性相关，时，向量组线性无关。