二次递推数列通项计算公式 二次递推型数列

二次递推型数列

“二次递推型数列试题”是指: 已知数列

的首项

的值或其范围，且

(其中

是常数)对于

恒成立，根据这些条件来解决与数列有关的问题。这样的数列一般不能求通项公式。此类数列是以二次函数图像、性质等为背景，依据的就是二次函数

与一次函数

的相对位置关系。

例 1 已知数列

满足

(其中

)。

（1）证明:

(其中

) ;

（2）设数列

的前n项和为

，证 明:

(其中

)． (2015年浙江省数学高考理科试题第20题)

证明 （1） 由题意得

即

，从而

又由

得

从而

这样，可以得到

，

即不等式

(其中

)成立．

（2） 由题意可得

，

由累加法得

．

根据题设条件知

即

因此，由累加法得

即

结合

得

(其中

) ．

例 2 在数列

中，对于任意正整数n，有

且恒有

．

（1）求证: 数列

是递增数列;

（2）设

，记数列

的前n项的和为

，求证:

（1）证法 1

对于任意n，有

，

由题设条件

得

，即数列

是递增数列．

证法 2

将

及

作 差得

结合

可得

与

符号一致．

这样，由归纳可知:

的符号取决于

的符号，

而

，

从而数列

是递增数列．

（2）证明：由

，得

．

由

，知

从而

对于

都成立．

于是，数列

的前n项的和为

，从而

例 3 已知数列

满足

．用符号[x]表示不超过数x的最大整数．试求

的值

分析 用裂项相消方法求和．

由

得

，即

( 这是一个实质性的发现，它使得目标和式可以求和了) ，亦即

由于数列

是恒正、递增的数列，又二次函数

在区间(0, ∞)上是增函数，

因此，猜想

，．

这样

，

可以猜想．

=3

具体的证明留给读者朋友们当练习吧。不难，真的。

,