翟山鹰讲数学思维（学好数学的三件法宝）

葛军，南师附中校长，因在数学上有独到的研究，所以被人们尊称为“葛大爷”，我们这里简称“葛大”。

虽然近年来，葛大几乎不怎么露面，但葛大每次出现，都会掀起滔天巨浪，大家可能不了解葛大的“数学帝”的称号是怎么来的，我们用网传的一段数据来告诉你：

这是一段在网上流传较广的段子：

2003年，葛军参与江苏高考数学命题工作，江苏数学全省平均分68分（满分150分）。

2010年，葛军参与江苏高考数学命题工作。当年江苏数学平均分83.5分（总分160分）。

2013年，葛军参与安徽高考数学命题工作，理科平均分只有55分左右（满分150分），导致安徽省一本分数线较2012年狂降54分。

凭借这些广为流传的光辉事迹，葛大一战成名，被推上高考数学第一命题人的宝座，封“数学帝”。

对学生说 葛军经常对初升高的学生说：“背上你的行囊，行囊里只放进三样宝贝，其他的千万不要放，轻装上阵！”有学生不相信：“我学了那么多，这三样宝贝能对付吗？”他回答：“完全能对付，万变不离其宗。”

这三样宝贝是：一把剑、一个A、一面镜，“这三样东西串起了整个高中数学学习的基本的结构”。

接着葛军介绍了“三件宝贝”的具体含义：

▲ 一把剑

一把剑是什么剑？

武侠中的“倚天剑”，剑气贯长。

它可以变换成数轴；再轻轻一抖动又可以变换成雌雄二剑，构成横刀立马之势，也就是笛卡尔坐标系，用这个“十字架”可以把几何问题转换成代数问题，面对许多问题就可以“所向披靡”。

案例1.如图，正方形ABCD的边长是12cm，E、F分别是直线BC、直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE⊥EF．

（1）证明：Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）当点E在边BC上，BE为多少时，四边形ABCF的面积等于88；

（3）当点E在直线BC上时，△AEF和△CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能，直接写出此时BE的长．

【分析】（1）通过余角的性质可得∠BAE＝∠CEF，即可得结论；

（2）由相似三角形的性质可求 CF=，由三角形的面积公式可求解；

（3）分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．

【解答】证明：（1）∵AE⊥EF，

∴∠AEB ∠CEF＝90°，

又∵∠BAE ∠AEB＝90°．

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF；

（2）如图，设BE＝xcm，则CE＝（12﹣x）cm，

∵Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴BE＝4cm或BE＝8cm；

（3）△ABE∽△AEF能成立，

如图1，当点E在线段BC上时，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠C＝90°，

∵AF不平行BC，

∴∠AFE≠∠FEC，

当∠FEC＝∠EAF时，△AEF∽△ECF，

∴∠BAE＝∠FEC＝∠EAF， ，

∵tan∠BAE＝tan∠EAF＝，

∴，∴BE=EC,BE=12-BE

∴BE＝6（cm）；

如图2，当点E在CB的延长线上时，设AF与BC的交点为H，

当∠CEF＝∠AFE时，△CEF∽△EFA，

∴EH＝HF，∠FAE＝∠HEA，

∴AH＝EH＝HF，

∵BC∥AD，

∴△CFH∽△DFA，

∴ ，

∴CH＝6（cm），

∴BH＝6（cm），

∴AH＝（cm），

∴BE＝EH﹣BH＝（）（cm），

如图3，当点E在BC的延长线上时，设AF与BC交于点H，

当∠EFC＝∠EAF时，△FCE∽△AEF，

同理可求BE＝（）（cm），

综上所述：BE的长是6cm或（）cm或（）cm．

在笔者看来，数形结合思想就是数学之利剑，是数学学习中重要的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。

利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得清晰、直观。

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

▲ 一个A

一个A，“万象大千，爱（谐音A）在处处”。

A在“数”处，它指代的可能是整数、有理数、实数、复数……

A在“式”上，可能表示有理式、无理式、函数式……

A还可以是向量、矩阵，可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次曲线，可以是球、柱、锥、台，或是组合数、概率……

要了解A的概念、出现的形式，在解题中能快速将它们识别出来，同时能用整体性的思维去看待它们。

案例2.小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；

（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为_____；线段BE与AD之间的数量关系是_____；

（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；

（3）同（2）的方法，即可得出结论．

【解答】：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，

∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，

∵∠CDE＝60°，

∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，

∵∠CED＝60°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，

故答案为：60°，BE＝AD；

（3）AE＝BE 2CM，理由：

同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，

∴∠BEC＝∠ADC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，

∵CD＝CE，CM⊥DE，

∴DM＝ME，

∵∠DCE＝90°，

∴DM＝ME＝CM．

∴AE＝AD DE＝BE 2CM．

在笔者看来，技术分为“道”和“术”两种，做事的原理和原则是“道”，而做事的具体方法就是“术”。

数学真正的作用，就是让我们掌握“道”。

因为从历史的发展来看，所有的“术”都会经历：独门秘籍——普及——落伍 的过程。

而只有掌握了“道”的人才能永远游刃有余。

——当然，我还要再加一句话：只知道“术”，而不去研究“道”的人，水平会被锁死在某个“理论极限内”，无法突破。

关于解题之道：实质上就是通过审题来构思、探究解题思路的思维过程。解题必须充分运用条件和尽可能满足结论的需要，因而，通过审题全面掌握题意了解题的基础与首要任务。那么，审题要从哪些方面进行呢？这里有五点建议：

（1）初步地全面理解题意（理解它的每一个字、词、每一句话），能清楚地理解全部条件和结论；

（2）准确地作出必要的图形，包括示意图；

（3）必要时，要把语言和不宜于直接计算的算式化为能直接计算的算式，把不便于进行数学处理的语言化为便于进行数学处理的语言；

（4）发现比较隐蔽的条件；

（5）根据题目的特征提供的启示（信息）预见主要步骤或主要原则。

这五项要求，前三项是基本的，后两项是较高的。

▲ 一面镜

一面镜，对镜自问，一日三省，养批判性、创新性思维能力。

当你拿到一个关于椭圆的问题，能不能静下心来把它做好，做好之后思考，换成抛物线会怎么样？换成双曲线会怎么样？

当你去思考了，你的认识在加深，水平真正得到提高。

也就是常说的“一道题做透了，要远胜于100道题”。

题目再变，你不再觉得可怕，你可以说“我都看透了”。

案例3.课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB BD＝AC．

求证：∠ABC＝2∠ACB．

小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝_____，连接DF．

请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．

请你解答小芸提出的这个问题；

（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB BD＝AC，那么AD平分∠BAC．

小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．

【解答】证明：（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，则∠BDF＝∠F，

∴∠ABC＝∠BDF ∠F＝2∠F，

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AB BD＝AC，BF＝BD，

∴AF＝AC，

在△ADF和△ADC中，

易证明△ADF≌△ADC（SAS），

∴∠ACB＝∠F，

∴∠ABC＝2∠ACB；

（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，

∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，

∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，

∵AB BD＝AC，AE＝AB，

∴DB＝CE，

在△ADB和△ADE中，

易证明△ADB≌△ADE（SAS），

∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，

∴DE＝CE，

∴∠EDC＝∠ECD，

∴∠AED＝2∠ECD，

∴∠ABD＝2∠ECD，

（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则∠BDG＝∠AGD，

∴∠ABC＝∠BDG ∠G＝2∠AGD，

∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠AGD＝∠ACB，

∵AB BD＝AC，BG＝BD，

∴AG＝AC，

∴∠AGC＝∠ACG，

∴∠DGC＝∠DCG，

∴DG＝DC，

在△ADG和△ADC中，

易证明△ADG≌△ADC（SSS），

∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．

正如教育专家钱仲寒说，每节课都是给学生自学的示范。例题教学也不例外，它是通过引导学生挖掘典型题目的潜在教育教学价值，从不同方面不同层次锻炼思维品质，培养思维能力，以此培养自主学习能力，其作用直接表现为：

① 对新授课中的定义、定理、公式的内涵与外延进行深化，连点成线，线组成面，由面成体，构建立体认知结构网络；

② 丰富应用含义，增加应用层次；

③ 概括提炼数学方法，进而形成数学思想，增强数学应用意识。

数学如诗，数学“悄然地在你身边，努力影响你，让你变得更为明智、理性，富有智慧”。

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