初中平面直角坐标系求斜线上的点(中考进阶几何与函数)
中考进阶 几何与函数02 直角坐标系中 两直线的位置关系 平行与垂直
纵观涉及函数曲线的几何综合题,其要求的逻辑思维水平和复杂度远高于基本问题,而有些基本问题却未必出现在教材中。
〖两直线交点:平行条件〗
设直线L1:y=k1·x+b1
直线L2:y=k2·x+b2
交点既在L1上,也在L2上,用消元法消去y,解得
(k2-k1)x=-(b2-b1) ①
[1]. k2≠k1 时,有唯一的交点:
x=-(b2-b1)/(k2-k1)
y=-( k1·b2-k2 ·b1)/(k2-k1)
[2]. k2=k1 时,
<1>. b2=b1
则任意的x值都满足等式①,表明有无数个交点。事实上此时,L1、L2重合,实为同一条直线;
<2>. b2≠b1
则任意的x值都不满足等式①,表明两条直线没有交点,也就是两条直线平行。
〖两直线垂直〗
两直线交点坐标记为M(m, n);
L1与x轴的交点坐标记为P(p,0);
L2与x轴的交点坐标记为Q(q,0);
因为k1、k2均不为0,故L1、L2必与x轴相交。
MD=n;QD=q-m;DP=m-p;
在△PMQ中,由射影定理(也可由△PDM∽△MDQ):
MD²=DP·QD,即
n²=(m-p) (q-m) ①
两直线斜率:
若(x1, y1)、(x2, y2)是直线L上互异的两点,则直线L的斜率
k=(y2-y1)/(x2-x1).
由此,
L1的斜率:
k1=(m-p)/(n-0) =(m-p)/n;
L2的斜率:
k2=(m-q)/(n-0) =(m-q)/n;
于是:
k1·k2=-(m-p)(q-m)/n² ②
由①和②,得到重要的结论:
两直线垂直,斜率互为负倒数:
k1·k2=-1
〖总结〗
[1]. k1=k2,b1≠b2,☞ L1∥L2
[2]. k1·k2=-1,☞ L1⊥L2
这两条重要的结论,可以直接应用。
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