离散数学中的合式公式（离散数学1.5下）

离散数学是编程人员进阶的必修科目，是计算机专业学生的基础课程之一，多为理论性知识，较抽象。

【离散数学】第一章（集合论基础）的小节主要有：

1.1集合的定义和表示

1.2集合与元素的关系

1.3集合与集合之间的关系

1.4一些特殊的集合

1.5集合的运算

在这篇中我们讨论1.5集合的计算的最后一小节-集合的运算律

本篇包含两个知识点：1.简单定律，2.特殊定律

大难题分解为小问题

简单定律

集合的简单运算律中，有很多地方与我们学过的实数的运算律相似甚至相同。集合的简单运算律有三种，分别是交换律，结合律和分配律。

1. 交换律

我们知道在实数中，对于任意两个数a,b，有a×b = b×a(a b = b a)，这是实数的交换律；

在集合中，设A,B为任意两个集合，设二元运算F(F为交运算，或者并运算，或者对称差运算时)，则有F(A, B)=F(B, A)，这是集合的交换律。（可推广到无穷多个集合之间）

例如：F为交运算时，F(A,B)=A∩B；F(B,A)=B∩A，有A∩B=B∩A。

2. 结合律

在实数中，对于任意三个数a,b,c，有(a×b)×c = a×(b×c)，这是实数的结合律；

在集合中，设A,B,C为任意三个集合，若A,B,C进行相同的二元运算时，任意两个集合之间进行二元运算都满足交换律，则运算顺序不同的式子之间可以替换，这是集合的结合律。（可推广到无穷多个集合之间）

例如：F为交运算时，A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C。

3. 分配律

在实数中，对于任意三个数a,b,c，有(a b)×c = (a×c) (b×c)，这是实数的分配律；

在集合中，设A,B,C为任意三个集合，设两种二元运算F和P(F、P为交运算或者并运算或者对称差运算时)，F[P(A,B)，C]=P[F(A,C)，F(B,C)]。（可推广到无穷多个集合之间）

例如：F为交运算，P为并运算时，有A ∩ (B∪C) = (A∪B)∩(A∪C)。等号左边B与C先进行并运算，得到的结果再与A进行交运算。等号右边B和C先分别与C进行交运算，得到的结果再进行补运算，两式结果相同。

分配律的核心在于“拆合”。

两个复杂的数进行一次运算，通过分配律拆分(合并)成简单的数进行多次运算。

比如计算16×625，可以简化为(2×2×2×2)×(5×5×5×5)=(2×5)×(2×5)×(2×5)×(2×5)，结果为10^4

两个复杂的集合进行一次运算，拆分(合并)成简单的集合进行多次运算。

分配律的思想很重要

特殊定律

集合的特殊定律有七条：幂等律，同一律，零律，吸收律，矛盾律(排中律)，双重否定律和德摩根律。

1. 幂等律

任意集合与自己的交集是自己，任意集合与自己的并集也是自己

A∩A=A，A∪A=A

幂是次方的意思，幂等即意味着自己与自己进行运算得到相同的结果。

因为集合没有不属于集合自身的元素，所以自身的交运算和并运算的结果都是自己。

2. 同一律

任意集合与空集进行并运算得到自己，全集之内的任意集合与该全集进行交运算得到自己。

A∪∅=A，A∩U=A

因为空集是任何集合的子集，任何集合与自己的子集进行并运算的结果都是自己。

A是全集的子集，所以A和全集相同的元素的集合就是A。

3. 零律

任意集合与空集进行交运算得到空集，任意集合与全集进行并运算得到全集。

A∩∅=∅，A∪U=U

4. 吸收律

A,B为任意两个集合，A与B的交集再并上A的结果是A，A与B的并集再与A求交集的结果是A。。

A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A

因为A,B的交集是A的子集，所以A和它的子集进行并运算得到结果是A。

5. 矛盾律

任意集合的补集与自己进行交运算得到空集，任意集合的补集与自己进行并运算得到全集。

~A∩A=∅，~A∪A=U

A的补集与A没有相同的元素，所以它们的交集是空集。第二条由补集的定义可证。

6. 双重否定律

任意集合的补集的补集是它自己。

~(~A)=A

7. 德摩根律

A,B为任意集合，A与B的并集进行补运算得到A的补集和B的补集求交运算，A与B的交集进行补运算得到A的补集和B的补集求并运算。

~(A∪B)=(~A)∩(~B)，~(A∩B)=(~A)∪(~B)

前六条定律的证明都很简单，举例简单证明一下德摩根律：

设A={3,4,5,6}，B={5,6,7,8}，全集U={x|2≤x≤9}

证：~(A∪B)=(~A)∩(~B)

因为：A∪B={3,4,5,6,7,8}

所以：~(A∪B)={2,9}

因为：~A={2,7,8,9}，~B={2,3,4,9}

所以：(~A)∩(~B)={2,9}

上式得证

同理可证第二条。

学习笔记必不可少

以上就是1.5(下)集合的运算律的全部内容，如果对您有帮助的话，可以点一个赞。如果有错误的话，感谢指出。

本篇内容为集合论基础的重点，部分内容在高中已经学习，整体难度偏低，重在理解。完全理解并掌握本篇所有的知识将对学习后面的内容有较大的帮助。至此，离散数学-集合论基础部分已讲完。

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