中考必会题易错题（旋转问题考查新亮点）

旋转，是三大几何变换中考察最多、难度最大的那个，平移、对称从图像观察角度来说直接显然，对应的结论也很容易用到．而旋转，变换得到的图形相对复杂些，有时候解题的突破口隐藏得更深，导致无从下手．下面将从基本的性质开始，到一些常见的模型，最后说说关于构造旋转能给我们带来什么，全方位了解旋转在中考题中的考察．

与旋转有关的计算问题，常见的是计算角度、计算线段的长度、计算图形的周长与面积以及旋转前后坐标系内点的坐标变换等.下面结合部分省市的中考试题，对和旋转有关的问题进行分类探究.下面就伴你一起走进"旋转"中考园，共把中考"脉搏".

解题指导

旋转是运动变化中最复杂的类型：旋转角度的不变，对应点到旋转中心的距离不变是根本。而解题的思路不变是解决此类问题的抓手，一般是从全等到相似，然后到特殊位置。

与旋转有关的角度计算，一般联系旋转的性质、三角形全等的性质、三角形的内角和以及三角形的外角的性质等，注意结合图形信息，寻找已知角与未知角之间的关系，灵活运用三角形的边与角之间的关系解题.

一般地，如果旋转特殊角，有以下规律：

坐标平面内的点p(x,y)，绕着原点旋转一个90°,①如果是顺时针旋转，则在旋转后的对应点的坐标为(y,-x);②如果是逆时针旋转，则在旋转后的对应点的坐标为(-y,x).坐标平面内的点绕着原点旋转180°，得出的点关于原点中心对称，点p(x,y)关于原点的中心对称点的坐标是(-x,-y)，p＇， p位于相对的两个象限，即分别位于第一、第三象限或者第二、第四象限.

经典考题

视点1 利用旋转的基本性质求解线段长或角度大小

视角2 旋转与解直角三角形

5．（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一）猜测探究

在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．

（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是____，NB与MC的数量关系是_____；

（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二）拓展应用

如图3，在△A₁B₁C₁中，A₁B₁＝8，∠A₁B₁C₁＝60°，∠B₁A₁C₁＝75°，P是B₁C₁上的任意点，连接AVP，将A₁P绕点A₁按顺时针方向旋转75°，得到线段A₁Q，连接B₁Q．求线段B₁Q长度的最小值．

【解析】（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．

理由：如图1中，

∵∠MAN＝∠CAB，

∴∠NAB ∠BAM＝∠BAM ∠MAC，

∴∠NAB＝∠MAC，

∵AB＝AC，AN＝AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN＝CM．

故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．

（2）如图2中，①中结论仍然成立．

理由：∵∠MAN＝∠CAB，

∴∠NAB ∠BAM＝∠BAM ∠MAC，

∴∠NAB＝∠MAC，

∵AB＝AC，AN＝AM，

∴△NAB≌△MAC（SAS），

∴BN＝CM．

（二）如图3中，在A₁C₁上截取A₁N＝A₁B1₁，连接PN，作NH⊥B₁C₁于H，作A₁M⊥B₁C₁于M．

∵∠C₁A₁B₁＝∠PA₁Q，

∴∠QA₁B₁＝∠PA₁N，

∵A₁A＝A₁P，A₁B₁＝AN，

∴△QA₁B₁≌△PA₁N（SAS），

∴B1Q＝PN，

∴当PN的值最小时，QB₁的值最小，

在Rt△A₁B1M中，∵∠A₁B₁M＝60°，A₁B₁＝8，

∴A₁M＝A₁B₁•sin60°＝4√3，

∵∠MA₁C₁＝∠B₁A₁C₁﹣∠B₁A₁M＝75°﹣30°＝45°，

∴A₁C₁＝4√6，

∴NC₁＝A₁C₁﹣A₁N＝4√6 ﹣8，

在Rt△NHC₁，∵∠C₁＝45°，

∴NH＝4√3﹣4√2，

根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，

∴QB₁的最小值为4√3﹣4√2．

视角3 动点 旋转综合问题

7．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．

①∠BEP＝______　°；

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是______　．

（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

【解答】：（1）①如图②中，

∵∠BPE＝80°，PB＝PE，

∴∠PEB＝∠PBE＝50°，

②结论：AB∥EC．

理由：∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDE＝90°，

∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，

∵AE垂直平分线段BC，

∴EB＝EC，

∴∠ECB＝∠EBC＝40°，

∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠ABC＝∠ACB＝40°，

∴∠ABC＝∠ECB，

∴AB∥EC．

故答案为50，AB∥EC．

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

∵AD垂直平分线段BC，

∴PB＝PC，

∴∠BCE＝1/2∠BPE＝40°，

∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．

（3）如图④中，作AH⊥CE于H，

∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．

视角4 格点旋转作图问题

反思总结

由于旋转具有旋转前后图形的大小形状不变的性质，因此旋转前后对应线段的长度，对应线段(或线段所在直线)的夹角都分别相等，因此结合特殊图形：等腰三角形(含等腰直角三角形与等边三角形)，正方形及相似的平行四边形(含矩形、菱形)，相似的三角形等绕其一个顶点旋转，探究对应线段(及对应线段的等分点之间的线段)等的数量与位置关系，是中考命题的一个热点，其一般解法是联系三角形的全等，综合旋转的性质等层层探究，为了找出最大值或最小值，有时可以构造辅助圆。

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