如何化简三次方程（怎么求高次方程的近似解）

牛顿切线法求高次方程的近似解，是“老黄学高数”系列视频第211讲分享的内容。

方程求解的方法主要分为两种，一种叫解析法，我们一般所采用的解方程法，都属于这种方法，它是严谨的，有求解公式的，得到的是准确的根。另一种称为数值法，它得到的并不是一个准确的根，而是根的近似数。

法国数学家伽罗瓦证明了，五次以上包括五次方程并不存在普遍的求根公式。只有一些特殊的方程可以得到它的根式解。因此，对那些无法得到求根公式的方程，伟大的科学家牛顿就提出了一种数值解法，称为切线法，或牛顿切线法。

关于牛顿切线法求近似根的原理，老黄学高数第211讲有详细介绍，不过一般人都不会去管它的原理，因为看了也有可能理解不了；理解了也基本是记不住的，就像老黄一样；或者记住了其实对绝大多数人来说也没有什么“卵”用。所以老黄这里就跳过原理，直接讲应用了。话说回来，老黄当然是鼓励你去了解原理的。

例：用牛顿切线法求方程x^3-2x^2-4x-7=0的近似解，使误差不超过0.01.

(1)了解方程根的基本情况。

解：记f(x)=x^3-2x^2-4x-7，

则f’(x)=3x^2-4x-4=(3x 2)(x-2)；f”(x)=6x-4.

f’(-2/3)=f’(2)=0, 【得到函数的两个稳定点】

f”(-2/3)=-8<0, f”(2)=8>0, f有极大值f(-2/3)<0, 极小值f(2)<0,【说明函数在这个区间没有零点】

又lim(n->-∞)f(x)=-∞, lim(n-> ∞)f(x)= ∞, 【说明函数在(2, ∞)上有一个零点】

∴f(x)=0只有一个根ξ.

(2)找到函数包含零点在内的一个单调且具有凸性的区间，这个区间一般取为单位区间。理论上，这个区间越小越好，但同时还要考虑运算是否简便。

又f(3)=-10<0, f(4)=9>0; ∴方程的根ξ∈(3,4).

(3)应用牛顿切线法找第一个点：

当x∈[3,4]时，f’(x)>0，f”(x)>0.【这是牛顿切线法的一种情形，这种情形下，要从右端点x=4开始取点】

从点B(4,9)作切线与x轴相交于x1=4-f(x)/f'(4)≈3.68.【这个公式是牛顿切线法中，点集的通项关系式。整个牛顿切线法原理，几乎都是在求这个公式的】

(4)检验x1的误差.

取m=min(x∈[3,4]){|f'(x)|}=11，【其实就是求导数f'(x)=3x^2-4x-4在[3,4]上的最小值】

f(x1)=f(3.68)≈1.03, 则|x1-ξ|≤|f(x1)/m=1.03/11>0.01, 不符合要求. 【这是求绝对误差的公式，是牛顿切线法另一个重要的部分。总的来说，牛顿切线法就两个部分，一是逐一找点集{xn}中的点；二是逐一检验点的绝对误差。】

(5)应用牛顿切线法找第二个点：

再取B’(x1,f(x1))作切线得：x2=x1-f(x1)/f'(x1)≈3.68-1.03/21.9≈3.63.

(6)检验x2的误差：

f(x2)≈-0.042，则|x2-ξ|≤|f(x2)|/m=0.042/11<0.01, 【这就满足精确度的要求了。如果不满足，就要继续找点x3，继续检验，一直到满足条件为止】

∴取ξ≈3.63误差不超过0.01.

最后来看看这个函数的图像。

这样的图像画起来是有够烦人的。对照前面的解法，你能够对牛顿切线法求方程的近似解，有一定的理解呢？如果理解不了，那可能就要去好好学一学牛顿切线法的原理了。