容斥原理的作用（超级干货-容斥原理大集合）

说到容斥原理，不妨先带着大家看一个小故事：

这一天，A和他的爸爸，B也和他的爸爸一起上山采草药，请问一共有几个人同行？

有的同学一定会说，四个人！那么你再仔细看看，一定是四个人吗？有可能A的爸爸就是B，也有可能A和B的爸爸是同一个人，答案也可能是三个人。这就是我们常说的交叉关系，也就是容斥原理。

容斥原理是各大国联考试中的“常客”，也是很多公考“小白”很容易上手的一类题型。一般情况下，这类题的出题难度不大，得分率高，只需要稍微复习就可以拿下。今天我们就一起来看看容斥原理的题型和解题方法。

一、题型大集合

容斥原理的主要考查题型是公式法，公式依据题目中给出集合个数的不同分为两大类，两集合和三集合。这里的ABC分别代表了各集合人数，或者符合末条件的人数。而画图法可以看成公式法的补充解法，通过图形的交叉逻辑关系找出答案，如下图，分别为两集合和三集合。

二、例题点拨

【例1】某班有38名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26人，答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题都答错的人数是？（ ）

A.3 B.5

C.6 D.7

【答案】B

【解析】本题为两集合容斥原理。设两题都答错的人数为x，根据两集合公式，A B-AB=总个数－都不满足的个数，可得26＋24－17＝38－x，解得x＝5。因此，本题选B。

【例2】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（ ）

A.1人 B.2人

C.3人 D.4人

【答案】B

【解析】本题为三集合容斥原理公式1。设三门课均为选的人数为x，根据三集合公式A B C-AB-BC-AC ABC=总个数-都不满足的个数，可得40 36 30-28-26-24 20=50-X，解得X=2。因此选择B选项。

【例3】某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为？（ ）

A.75 B.82

C.88 D.95

【答案】B

【解析】本题为三集合容斥原理公式2，根据三集合公式A B C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总个数-都不满足的个数，可得参加运动会的总人数为49＋36＋28－13－9×2＝82人。选择B选项。

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华图教育 梁晨