容斥原理的作用(超级干货-容斥原理大集合)

容斥原理的作用(超级干货-容斥原理大集合)(1)

说到容斥原理,不妨先带着大家看一个小故事:

这一天,A和他的爸爸,B也和他的爸爸一起上山采草药,请问一共有几个人同行?

有的同学一定会说,四个人!那么你再仔细看看,一定是四个人吗?有可能A的爸爸就是B,也有可能A和B的爸爸是同一个人,答案也可能是三个人。这就是我们常说的交叉关系,也就是容斥原理。

容斥原理是各大国联考试中的“常客”,也是很多公考“小白”很容易上手的一类题型。一般情况下,这类题的出题难度不大,得分率高,只需要稍微复习就可以拿下。今天我们就一起来看看容斥原理的题型和解题方法。

一、题型大集合

容斥原理的作用(超级干货-容斥原理大集合)(2)

容斥原理的主要考查题型是公式法,公式依据题目中给出集合个数的不同分为两大类,两集合和三集合。这里的ABC分别代表了各集合人数,或者符合末条件的人数。而画图法可以看成公式法的补充解法,通过图形的交叉逻辑关系找出答案,如下图,分别为两集合和三集合。

容斥原理的作用(超级干货-容斥原理大集合)(3)

二、例题点拨

【例1】某班有38名学生,一次数学测验共有两道题,答对第一题的有26人,答对第二题的有24人,两题都答对的有17人,则两题都答错的人数是?( )

A.3 B.5

C.6 D.7

【答案】B

【解析】本题为两集合容斥原理。设两题都答错的人数为x,根据两集合公式,A B-AB=总个数-都不满足的个数,可得26+24-17=38-x,解得x=5。因此,本题选B。

【例2】某专业有学生50人,现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课程的有28人,兼选甲、丙两门课程的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三门课程均未选的有多少人?( )

A.1人 B.2人

C.3人 D.4人

【答案】B

【解析】本题为三集合容斥原理公式1。设三门课均为选的人数为x,根据三集合公式A B C-AB-BC-AC ABC=总个数-都不满足的个数,可得40 36 30-28-26-24 20=50-X,解得X=2。因此选择B选项。

【例3】某乡镇举行运动会,共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人,参加跳远的有36人,参加短跑的有28人,只参加其中两个项目的有13人,参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为?( )

A.75 B.82

C.88 D.95

【答案】B

【解析】本题为三集合容斥原理公式2,根据三集合公式A B C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总个数-都不满足的个数,可得参加运动会的总人数为49+36+28-13-9×2=82人。选择B选项。

华图祝各位:不忘初心,砥砺前行。

华图教育 梁晨

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