几何的三视图问题（图形与几何---对顶角）

一．概念描述

现代数学：两角间的一种位置关系。若一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角。

小学数学：小学数学教材中没有给出对顶角的明确的定义，而是通过度量“角”来说明的，通过度量发现“这样的角，度数相等”，也就是“对顶角相等”。

如2004年人教版教材四年级上册第40页“角的度量”单元就有这样的安排：量出下面各角的度数，你能发现什么？（如下图）

研究了角的分类，学习了平角、周角后，该教材又出现了对顶角的图（如上图），并要

求根据一个角的度数，说出另外几个角的度数。

二．概念解读

对顶角有哪些特性，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系。两条直线相交有一个公共点，没有公共边，这两条直线相交就形成了两对对顶角。

对顶角相等是怎样被发现和证明的，对顶角相等非常直观，容易理解，但它在平面几何证明中占有重要地位，是证明图形全等、相似的重要依据。

提到对顶角相等的发现与证明，一定会想到古希腊数学家泰勒斯，他被后人誉为人类历史上最早的科学家，有“科学之父”和“希腊数学的鼻祖”之称。他在数学方面划时代的贡献是把逻辑论证引入到数学，确保了数学命题的正确性，揭示了各定理之间的内在联系，使数学构成了一个严密的体系，他曾把诸如“直径平分圆周”、“三角形两等边对等角”、“两条直线相交时，对顶角相等”、“三角形两角及其夹边已知，此三角形完全确定”、“半圆所对的圆周角是直角”等平面几何学的知识整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用，为毕达哥拉斯创立理性的数学奠定了基础。

“对顶角相等”在《几何原本》里被列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。

光线是沿直线传播的，小孔成像的原理其实也能说明对顶角相等。大约两千四五百年以前，我国的墨子和他的学生，做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成倒像的原因，指出了光的直线进行的性质。这是对光直线传播的第一次科学解释。

无论是光学还是几何学范畴，都揭示了这个看似简单却又非常重要的知识。

三．教学建议

对顶角在小学数学教材中被安排在了“角的度量”之后。虽然没有出现这个名词，但在角的度量过程中会发现：“这样的角”度数相等，即对顶角相等。因此教材编者的意图一个是巩固新知---进一步巩固角的度量和认识平角，另一个是直观感知，向学生渗透“这样的角”度数相等这一事实，为今后的几何学习做好铺垫。如何做好铺垫呢？

①以角的度量为线索，测量不同状态的角，感知两直线相交，,会形成两组度数分别相等的角。

②借助平角和周角认识对顶角。比如量出其中一个角的度数，不去量，能否知道另外几个角的度数。

③寻找生活中的“对顶角”。如“ ”、剪刀、伸缩式衣架、x形储物柜、十字路口、铁丝网……

④查阅欧几里得《几何原本》中的命题“对顶角相等”、《墨经》中了解“小孔成像”实验，更深入地理解对顶角，提高数学文化品位。

四．推荐阅读

(1)《几何原本》（欧几里得，陕西科学技术出版社，2003）

该书第14页具体论证了对顶角相等。

(2)《数学史》（斯科特，广西师范大学出版社，2008）

该书第二章论述了古希腊数学的起源和发展，介绍了希腊数学史的三个时期以及泰勒斯的“两直线相交时，对顶角相等”等五个重要命题。