数学活动经验的积累和发展（数学讲题的概要活动）

刘永东（广东省广州市天河区教育局教研室）

摘要：初中学生在课堂学习中缺乏一个体悟数学思想的深层次的概括学习过程，会导致其数学解题思维能力不足.文章结合教学实践，例谈教师在教学中如何开展有效的解题方法概括和对学生学习指导概括，阐述立足“四基”的概括，既是一种呈现和提升数学思维的方式，又是一种有效的学法指导方式.

关键词：数学讲题；概括活动；学法指导

一、问题与成因

初中学生的数学解题往往存在着四个方面的问题：一是解题思维缺乏经历一个逐步深入的过程；二是不能独立地从具体的数学问题中发现或辨认出一般规律，缺乏将规律应用到新问题的解决中；三是不能敏捷地找到解题切入点；四是缺乏通过全面观题，揭示数学知识间的联系，以寻求整体解题思路的眼界. 这些问题体现出学生思维能力的不足，这与课堂上学生缺乏过程与方法目标达成的体验相关，即缺乏创造、批判、沟通、合作的过程体验，其根源可归结为学生缺乏一个体悟数学思想的深层次的概括学习过程，这主要是教师在教学中缺乏有效的对解题方法的概括和对学生学习指导的概括.本文就两个案例与同行交流.

二、案例与概括

1.一题多解的解法概括

对于一题多解的题目，在学生研究完可能的解法后，教师需要引导学生对解法进行串联概括，把题目各种解法用数学思想统一起来，渗透到学生原有的图式结构中，进而通过拓展、变化、迁移，以提升学生的思维能力.

另一条直线的位置也相应确定.

教师概括：这些题目均涉及过对称中心的直线等分四边形面积，以及全等的旋转对称变换，因此解法相似，也正是这个特征，才有第四题把不规则图形转化成规则图形的面积求法.但往往会因图形特征的特殊性而丢掉用代数式运算表达相邻两部分面积相等的方法，这提醒我们，在确定研究对象和研究方法后，要注意关注问题的变化，从它们之间的共性特征出发，避免受两条直线互相垂直的个性特征影响，导致钻牛角尖而无法解决问题. 我们知道，梯形的面积通过作过腰中点的辅助线是可以转换成平行四边形的面积，那么平分梯形面积的一条直线是否也有一定的规律呢？有兴趣的学生课后可以研究一下.

三、思考

笔者曾撰文谈及教师讲题的缺漏，主要在于没有挖掘题目的内涵，不能把在解题基础上的概括提升到数学思想的高度.这也反映当今数学教师讲题概括时，常常只关注到对题目的求解过程和题型归类的浅层次概括，而缺乏对过程方法目标的概括，即从解决特殊问题的方法，到解决一类问题时可用的共同方法，再到数学思想的概括过程的缺乏.

前述案例在概括呈现给学生时，并不是完全照搬解题步骤，而是在串联方法的同时做适当的列点归纳. 例如，从研究对象、研究方法和关注问题三方面概括，或从题型特征、解题方法和解题步骤三方面提炼呈现解题思维的过程，即分析题型特征、寻求解题思路、设计解题方案、筛选最优解法、正反变式迁移等过程.这样立足《义务教育数学课程标准（2011年版）》的“四基”，从题型特征进行知识与技能方面的总结，从解题方法上进行过程与方法的总结，在解题步骤上关注核心问题，开展基于知识技能和过程方法目标达成的二元概括.例如，“已知直角三角形一边长和另两边的关系式，求边长”的题型特征，从知识技能上可利用勾股定理与方程思想相结合进行解答. 在勾股定理的几百种证法中，有很多源于图形构造，利用面积关系列式推导得出. 因此，在过程方法概括上，可回归定理本源，提出用面积法求解.这样再现解题本源，不仅复原结论的形成过程，而且学会概括一类事物的本质属性，体现出学生是在有思维含量、有智慧含量、有文化含量的课堂学习.

此外，课堂的概括本身就是开展学法指导，教师通过立足“四基”的有效概括方式呈现思维主线，真正帮助学生不断构建解题知识结构，积累解题活动经验，提升数学思维能力.使学生从概括中学会解题反思，学会总结题目之间的联系，同时学会回归教材、挖掘教材，在教材中寻找关联题目进行串联概括，体悟一种处于数学思想引领下的学习状态.

参考文献：

[1]涂荣豹,陈嫣. 数学学习中的概括[J]. 数学教育学报，2004（01）:17-22.

[2]蔡金法. 试论数学概括能力是数学能力的核心[J]. 数学通报，1988（02）:3-6.