事件的相互独立和互斥事件的区别（事件互斥和事件独立的关系）

本文是对之前推送中关于新高考数学第8题解析得更正以及扩展，原题如下：

设甲乙丙丁事件分别为A,B,C,D，分别计算各自概率，以及根据选项计算P(AC)，P(AD)，P(B,C)，P(CD)，如下：

可知P(AD)=P(A)P(D)，根据独立事件的公式，事件甲和丁相互独立，选B

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以上解析过程完全是套用公式，公式符合即为独立，不符合就不独立，但如果脱离既定的公式，从最直观的认识出发，A选项中事件甲和事件丙互斥，事件甲和丙发生的概率都依赖于各自符合的事件个数，而两者各自符合的事件个数并无公共部分，为什么两事件不独立？到底甲事件影不影响丙事件的概率，互斥事件和独立事件的区别又是什么。

知乎上有一篇关于独立事件和互斥事件关联性的文章，跟帖很多，评论大多从大学数理统计的角度出发，有兴趣的同学可以自己搜一下，高中数学中都是直接给出了公式，但公式的由来和解释并没有给出，先从课本中给出的定义出发，先回顾一下和事件的和积事件，如下：

互斥事件又叫互不相容事件，指事件A,B不能同时发生，P(AB)=0,用和事件的形式表示成互斥事件，概率公式和图示如下：

两事件独立的定义为事件A不影响事件B的发生的概率，从上图看，若两事件A,B互斥，且P(A) P(B)≠1，显然A和B互斥时其实可以理解为A,B本身就存在概率上的关联性，即事件A发生时，事件B就一定不会发生，因此A事件发生概率的大小会影响B事件概率的大小，此时不符合独立事件的定义，因此可以理解为若两事件互斥，则两事件不独立。

事件A发生的概率会影响事件B发生的概率大小，这里不得不引入条件概率的定义，且不论事件A,B独立与否，若A,B是两不同的事件，按照分步相乘的原则，事件AB同时发生的概率等于在事件B发生且在事件B发生的条件下，事件A也发生，用数学表达式表示为：P(AB)=P(B)·P(A|B)，若A,B之间互不干扰互不影响，则P(A|B)=P(A)，所以独立事件概率公式可通过条件概率推导为P(AB)=P(A)P(B) 【书上是用古典概型推导出来的】

两事件是否独立在一些具体实际案例中很好理解，例如两个不相干的学生通过考试的情况是相互独立的，两个不相干的机器运转良好的概率也是相互独立的，这些具体的案例很容易解释独立性，但在本题中，又该如何解释事件的独立性？

先看书本上关于独立事件的案例：

三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为"第一名同学没有抽到中奖奖券"，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”，问事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？

人教版选修2-3

因为是有放回的抽取，A无论抽中没抽中都会放回奖券，所以最后一名学生依旧是从三张奖券中抽取，因此P(B|A)=P(B),所以判断两事件独立不独立可以采用这种方法：即如果有A时B发生的概率与没有A时发生的概率是否相同，看下面的经典案例：

两种情况很接近，第一种情况，若没有事件A，则B事件发生的概率为1/2,若事件A发生，在A发生的前提下B发生的概率依旧是1/2,此时P(B|A)=P(B),即事件A,B相互独立。

第二种情况，若没有事件A，事件B发生的概率为1/2，若事件A发生，在A发生的前提下B发生的概率为2/3,此时P(B|A)≠P(B)，事件A,B显然不独立。

从上述案例中能看出，A,B之间有没有影响，具体是怎么影响的只能通过概率来判断，并不能直接找出影响或不影响的特定情况。

若将本题中取两次的数字所有可能性看作完整的事件，甲乙丙丁事件发生的概率图示和关系如下：

如图可知甲丙事件互斥，丙丁事件互斥，甲丁和乙丙存在交集，由互斥事件可知，甲丙以及丙丁不可能独立，现分析甲丁和乙丙是否独立：

先看甲丁，设甲丁事件分别为A,D，若没有A时，D发生的概率P(D)=1/6,若在A发生的条件下，即可能事件为1,1；1,2；1,3；1,4；1,5；1,6，共6个，这6个事件总数中发生D事件的概率依旧为1/6，因此P(D|A)=P(D),反之亦然，所以甲丁互相独立。

再看乙丙，设乙丙事件分别为B,C,若没有B时，事件C发生的概率为5/36，若在B发生的条件下，即可能事件为1,2；2,2；3,2；4,2；5,2；6,2，共6个，这6个事件中发生C事件的概率为1/6,此时P(C|B)≠P(C),因此P(CB)=P(B)P(C|B)≠P(B)P(C)，反之亦然。

除了甲丁互相独立之外，事件乙丁也互相独立，只是选项中并没给出。

从上述案例中可总结如下图：

简言之为：互斥不独立，独立不互斥。

一开始的高考真题很容易把答案选出来，借此题目也回顾一下事件互斥，事件独立，条件概率之间的关联性。

【注：文章中提到事件为了体现一般性，概率P均为0<P<1】

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