简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)

来源:豆瓣用户酱拌油泼蛋

简谐振动是最普遍的运动形式之一。弹簧振子、单摆等绝大多数振动,在振幅不太大时都符合简谐振动的形式。固体中原子在平衡位置附近的振动,也用简谐振动来描述。甚至量子场论中的基本粒子,也用一系列简谐振动形式的“场”来描述。

质点的运动,如果被势场束缚在一个有限的区域内,则称为束缚态运动;反之,如果能到达无穷远处并保持大于零的动能,则称为散射态运动。以无穷远处为势能零点,散射态的动能大于势能,总机械能为正;而束缚态的动能小于势能,总机械能为负。最简单的运动形式是,当势场不存在时,质点将做匀速直线运动,这种情形称为自由粒子。除去自由粒子外,最简单、最普遍的一种运动形式就是简谐振动了。

简谐振动是一种束缚态运动形式,质点在平衡位置附近一个有限的范围内运动(如下图所示)。一维势场中的束缚态运动通常是周期性的,当质点回到初始位置、方向相同时,完成一个运动周期,此后将重复这个周期。一般的一维束缚态运动,周期是与振幅有关的。简谐振动是一种特殊情形:势场是二次函数形式时,周期与运动振幅无关。

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(1)

质点在束缚势场中平衡位置附近的振动

在平衡位置附近足够小的范围内,一般形式的势能都可以近似为二次函数形式。将势能按平衡位置附近的位移做级数展开:

平衡位置附近的势能:

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(2)

其中,第一项是常数项不产生作用;第二项是线性项,平衡位置为势能的极小值点,故此项为0;主导项为第三项,即二次项。从受力分析的角度:

平衡位置附近的受力:

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(3)

平衡位置处外力为0,因此第一项消去;主导项为第二项,即线性回复力。

因此,一般的束缚态振动在振幅较小时,都可以近似为简谐振动。简谐振动的势能是位移的二次函数,所受外力正比于位移,指向平衡位置方向。通常把简谐运动的势能和回复力写作:

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(4)

根据牛顿第二定律、拉格朗日方程或哈密顿方程,可得到简谐运动的位移满足的运动方程:

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(5)

这是一个非常著名的二阶线性常系数微分方程,它有两个线性无关的通解:

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(6)

它们是以ω 为角频率的周期性运动,也可以看作匀速圆周运动在一个方向上的投影。将这两个通解做线性叠加,得到一般解:

简谐运动振动各个过程(最普遍的运动形式)(7)

其中,A 称作运动的振幅,与运动的总机械能大小有关;φ 称作运动的相位。振幅与相位由运动的初始状态决定,而频率只由势能本身决定。

简谐运动的位移、速度、加速度(外力)都以相同的频率随时间振荡变化。这种振动在介质中传播,可以形成机械波;电场和磁场按这种振荡方式随时间变化,可以形成电磁波;在量子力学中,简谐振子因具有优良的数学和物理性质,被作为描述粒子的最常用模型。

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