一个长方形分成两个三角形求面积（一道高中题-求等边三角形内嵌的长方形最大的面积）

一道高中题-求等边三角形内嵌的长方形最大的面积

一个等边三角形的边长为L，求其内部相接的长方形的面积的最大值。

解：如图设长方形的长为2x， 宽为y, 令长边平行于底边，

现在的目标是要求出x和y的关系式，我们利用AM/MN=AP/PC 这个等式求解。

由于AN是等边三角形的高， AN=(√3L)/2

所以AM=√3x

另外PC=y/(√3/2)=(2√3y)/3

AP=2x,

MN=√3L/2-√3x

带入AM/MN=AP/PC

由此推出：

X=L/2-y/√3

带入长方形面积S=2xy中，

若配方比较麻烦，所以用求导数的方法比较快捷，

S’=-4y/√3 L=0

由此求出y=√3L/4

带入X=L/2-y/√3

得出x=L/4,

最后得出长方形的面积

这道题实际上初中数学是可以求解的，只是在上面的面积表达式中需要配方，方法是提出y的二次方的系数，然后配成完全平方的形式假设一个常数项，常数项的值就是最大值。这里省略了具体计算。

到了高中，导数计算求极值比较快捷。

最后可以得出结论取得最大面积。