导数及其应用详细讲解（导数及其应用知识结构）

一、导数

①函数的变化率与导数的概念

1、函数的平均变化率

函数值的改变量与自变量的改变量之比

2、函数的瞬时变化率

对于一般的函数 y = f（x），在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，

若设 △x = x1 - x0 , △y = f（x1）-f（x0）, 则函数的平均变化率是

而当 △x 趋于 0 时 ，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。

3、平均变化率与瞬时变化率的区别与联系

①区别

平均变化率刻画函数值在区间 【x1,x2】上变化的快慢，

瞬时变化率刻画函数值在点 x0 处的变化的快慢 。

②联系

当 △x 趋于 0 时 ，平均变化率 △y/△x 就趋于一个常数，

这个常数即为函数在 x0 处的瞬时变化率，它是一个固定的值 。

4、导数的概念

函数 f（x）在 x = x0 处的瞬时变化率的定义 ：

一般地，函数 y = f（x）在 x = x0 处的瞬时变化率是

我们称它为函数 y = f（x）在 x = x0 处的导数 ，记作

【知识结构图】

②导数的计算

利用导数的概念计算导数 ；

【例题1】已知函数 f（x）= 2x^2 3x - 1 ，求 f'（2）的值是多少 ？

【方法指导】有两种方法：

一是先求 △y ，然后求 △y/△x ，再求

二是先求 f'（x）, 再求 f'（2）。

【解答过程】

解法一

解法二

利用初等函数求导公式计算导数 。

二、导数的应用

(1)、导数在研究函数中的应用

函数的单调性、极值与最值、证明不等式、恒成立问题等。

(2)、生活中的优化问题举例

1、函数的最值的存在性及其求法

一般地，如果在区间 [a , b] 上函数 y = f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

只要利用导数求出函数 y = f（x）的所有极值，再求出端点的函数值，进行比较，就可以得出函数的最大值和最小值 。

【例题2】函数 f（x）= x（1 - x^2）在 [0 , 1] 上的最大值为 （ ）

【解析】

2、生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，

这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具，

可以运用导数解决一些生活中的优化问题.

【例题3】一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，则此轮船的速度为每小时 （ ）公里时，能使行驶每公里的费用总和最小.

【解析】

3、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1) 分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，

写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x);

(2) 求函数的导数 f'(x)，解方程f'(x)＝0;

(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.

注：

确定函数关系中自变量的定义区间，

一定要考虑实际问题的意义，

不符合实际问题的值应舍去.

【知识结构图】

三、微积分基本定理

罗尔定理、费马定理、拉格朗日中值定理等。

四、定积分

1、定积分的概念及简单应用

2、定积分及性质的理解

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