高中数学必修一知识点详细讲解（高中数学必修一）

常用数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

记法

N　

N＋或N*

Z

Q

R

集合

区间表示

区间名称

{x|a≤x≤b}

[a，b]

闭区间

{x|a＜x＜b}

(a，b)

开区间

{x|a≤x＜b}

[a，b)

半开半闭区间

{x|a＜x≤b}

(a，b]

半开半闭区间

集合

区间表示

R

(－∞，＋∞)

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤b}

(－∞，b]

{x|x＜b}

(－∞，b)

实数

集合

定义

a≤b包含两层含义：a＝b或a＜b

A⊆B包含两层含义：A＝B或A⫋B

相等

若a≤b，且b≤a，则a＝b

若A⊆B，B⊆A，则A＝B

传递性

若a≤b，b≤c，则a≤c

若A⊆B，B⊆C，则A⊆C

若a＜b，b＜c，则a＜c

若A⫋B，B⫋C，则A⫋C

特性

含义

示例

确定性

集合的元素必须是确定的，因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来

集合A＝{1,2,3}，则1∈A，

4∉A

互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素

集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2

无序性

集合中的元素可以任意排列

集合{1,0}和集合{0,1}是同一个集合

概念

不含任何元素的集合叫做空集

性质

1．空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A．

2.空集是任意一个非空集合A的真子集，即∅⫋A(A≠∅)

并集的

概念

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

并集的

性质

(1)①A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；②A∪A＝A，A∪∅＝A；③A∪B＝B∪A；

④(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；

(2)若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B

交集的

概念

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

交集的

性质

(1)①(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∩B＝B∩A；

④(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；

⑤(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)，(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)；

(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B

补集的概念

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

补集的

性质

(1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅；

(2)若A⊆B，则∁UA⊇∁UB；反之，若∁UA⊇∁UB，则A⊆B；

(3)若A＝B，则∁UA＝∁UB；反之，若∁UA＝∁UB，则A＝B；

(4)①∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；②∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)

命题类型

否定

存在量词命题：∃x∈M，p(x)

否定为全称量词命题：∀x∈M，¬p(x)

全称量词命题：∀x∈M，q(x)

否定为存在量词命题：∃x∈M，¬q(x)

命题p

命题p的否定(¬p)

真

假

假

真

正面词语

＝

＞(＜)

是

都是

任意(所有)

存在

至多有1个

至少有1个

或

且

否定词语

≠

≤(≥)

不是

不都是

某个

不存在

至少有2个

1个也没有

且

或

p与q满足的关系

p是q的________条件

p⇒q且q不能推出p

充分不必要

p能推出q且q⇒p

必要不充分

p⇒q且q⇒p(p⇔q)

充要

p能推出q

且q能推出p

既不充分也不必要

等式的

性质

文字语言

符号语言

性质1

等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立

如果a＝b，那么对任意c，都有a＋c＝b＋c

性质2

等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立

如果a＝b，那么对任意不为零的c，都有ac＝bc

不等式的性质

别名

性质内容

注意

性质1

可加性

如果a＞b，那么a＋c＞b＋c

可逆

性质2

可乘性

如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc

c的符号

性质3

可乘性

如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc

c的符号

性质4

传递性

如果a＞b，b＞c，那么a＞c

同向

性质5

对称性

a＞b⇔b＜a

可逆

推论1

移项法则

如果a＋b＞c，那么a＞c－b

可逆

推论2

同向可加性

如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d

同向

推论3

同向同正可乘性

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd

同向同正

推论4

可乘方性

如果a＞b＞0，那么a的n次方＞b的n次方(n∈N，n＞1)

同正

推论5

可开方性

如果a＞b＞0，那么a的算数平方根＞b的算数平方根

同正

比较大小的方法

方法

依据

应用范围

作差法

a－b＞0⇔a＞b；

a－b＝0⇔a＝b；

a－b＜0⇔a＜b

整式、分式的大小比较

比较大小的方法

作商法

a＞0，b＞0，

则a/b＞1⇔a＞b；

a/b＝1⇔a＝b；

a/b＜1⇔a＜b

乘积式、指数式的大小比较

a＜0，b＜0，

则a/b＞1⇔a＜b；

a/b＝1⇔a＝b；

a/b＜1⇔a＞b

乘方法

a的平方＞b的，且a＞0，b＞0⇒a＞b

无理数(式)的大小比较

十字相乘法

对于二次三项式Ex2＋Fx＋G，如果能找到a，b，c，d，使得E＝ac，G＝bd，且F＝ad＋bc，则Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)

一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－b/a，x1x2＝c/a

重要不等式

a^2＋b^2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立

基本不等式

(a b)/2≥√￣（ab）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立

最值定理

设x，y都是正数.

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；

(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值.

说明：应用均值不等式求最值的条件为“一正、二定、三相等”

函数的图像变换

平移变换

①函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图像可以由函数y＝f(x)的图像沿x轴向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度得到；

②函数y＝f(x)＋a(a≠0)的图像可以由函数y＝f(x)的图像沿y轴向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位长度得到

对称变换

①函数y＝f(－x)的图像可由函数y＝f(x)的图像作关于y轴的对称变换得到；

②函数y＝－f(x)的图像可由函数y＝f(x)的图像作关于x轴的对称变换得到；

③函数y＝－f(－x)的图像可由函数y＝f(x)的图像作关于原点的对称变换得到

翻折变换

①作函数y＝f(|x|)的图像，可先作函数y＝f(x)的图像，保留函数y＝f(x)的图像在y轴上及y轴右侧的部分，并将y轴左侧的图像换成y轴右侧的图像沿y轴翻折而成的图像即可；

②作函数y＝|f(x)|的图像，可先作函数y＝f(x)的图像，保留函数y＝f(x)的图像在x轴上及x轴上方的部分，并将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方即可

条件

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D，如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有

f(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)

结论

则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)

则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)

图示

自左向右图像逐渐上升

自左向右图像逐渐下降

判断方法

任取x1，x2∈D，x1≠x2，那么当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在区间D上单调递增；

当x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在区间D上单调递减

函数

单调性

一次函数y＝ax＋b(a≠0)

a＞0时，在R上单调递增；

a＜0时，在R上单调递减

反比例函数y＝(a≠0)

a＞0时，单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；

a＜0，单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)

二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)

a＞0时，单调递减区间是(－∞，m]，单调递增区间是[m，＋∞)；

a＜0时，单调递减区间是[m，＋∞)，单调递增区间是(－∞，m]

对勾函数y＝x＋(p＞0)

单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞)，单调递减区间是[－，0)和(0，].

f(x)

g(x)

f(x)＋g(x)

f(x)－g(x)

增函数

增函数

增函数

不能确定单调性

增函数

减函数

不能确定单调性

增函数

减函数

减函数

减函数

不能确定单调性

减函数

增函数

不能确定单调性

减函数

最大值

最小值

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点

几何意义

函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标

函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标

常用

结论

(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么函数y＝f(x)，x∈[a，b]在x＝a处取得最小值，在x＝b处取得最大值；

(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数y＝f(x)，x∈[a，b]在x＝a处取得最大值，在x＝b处取得最小值；

(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处取得最大值；

(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处取得最小值

定义

的等

价式

奇函数定义的等价式：f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)；

偶函数定义的等价式：f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)

常

用

结

论

(1)如果一个奇函数在原点处有定义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来判定一个函数不是奇函数；

(2)奇函数的图像关于原点对称，且在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数的图像关于y轴对称，且在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”

f(x)

g(x)

f(x)＋g(x)

f(x)－g(x)

f(x)g(x)

f[g(x)]

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

不能确定奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

奇函数

轴

对

称

函数y＝f(x)在定义域内恒满足的条件

函数y＝f(x)的图像的对称轴

f(a＋x)＝f(a－x)

直线x＝a

f(x)＝f(a－x)

直线x＝

f(a＋x)＝f(b－x)

直线x＝

中

心

对

称

函数y＝f(x)在定义域

内恒满足的条件

函数y＝f(x)图像

的对称中心

f(a＋x)＋f(a－x)＝2b

点(a，b)

f(x)＋f(a－x)＝b

点

f(a＋x)＋f(b－x)＝c

点

零点的意义

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点

函数零

点存在

定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0

二分法

二分法的解题原理是函数零点存在定理. 通过二分法使有解区间逐步缩小，体现“无限逼近思想”

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图像

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两个相异的实数根x1＝，

x2＝

有两个相等的实数根x1＝x2＝－

没有实数根

一元

二次

不等

式的

解集

ax2＋bx

＋c＞0

(a＞0)

{x|x＜x1或x＞x2}

{x∈R|x≠－}

R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

根的分布

图像

所需条件

x1＜x2＜k

k＜x1＜x2

x1＜k＜x2

f(k)＜0

x1，x2∈(k1，k2)

x1，x2中有且仅有一个在(k1，k2)内

f(k1)f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜－＜或f(k2)＝0，＜－＜k2