蒙氏数学三色游戏（趣谈染色法及数学游戏）

春秋时期，孔子周游列国，一次，到了卫国地界，卫灵公想和孔子谈学，实际上就是给自己"贴金"。孔子欣然应允。孔子给卫国的群臣们讲"德"，君臣们听得玄乎不知所云，孔子普见卫灵公左右簇拥着许多美女，就用"君子好德如好色"来形容卫灵公。

把"喜形于色"用于解题，即把问题的对象恰当染色，以便观察、分析对象之间的关系，通过对染色图形的分析达到解决原问题的目的，这种解决问题的方法叫染色法。

染色法是分类的一种直观形象表示,解答这类问题，往往是奇偶性、抽屉原理等多种知识的综合运用。一般情况下题目并没有提到染色，我们在解题中用直观形象的染色法进行分类,往往浅显明了,使人一目了然。象棋棋盘的网格是最直观、最常见的染色模型。

游戏与数学密不可分。数学游戏为许多古老和新兴的学科，如图论、拓扑学、博弈论、概率论、组合数学等提供了素材，促进了这些学科的诞生与发展。

阿基米德的"群牛问题"（最终归结为方程ｘ２－４７２９４９４ｙ２＝１）和中国的"百鸡问题"促进了不定方程理论的发展，"百鸡问题"是一个数学问题，出自于中国古代数学家张丘建所著的《张丘建算经》，是原书的最后一题。它是世界著名的不定方程问题，几乎就是不定方程的代名词。13世纪意大利斐波那契的《算法之书》和中世纪阿拉伯的阿尔·卡西的《算术之钥》都有百鸡问题。

原题如下：

今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵[chú]三，值钱一。

凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？

答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六；

又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七；

又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。

欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究直接导致图论的创立，概率论起源于一个关于赌博的游戏，合理分配赌注问题成为概率论创立的基本问题之一。

马丁·伽德纳（1914-2010），名声显赫的业余数学大师、魔术师、怀疑论者，他曾经为《科学美国人》杂志趣味数学专栏写作长达30年，伽德纳没有数学博士学位，但是他的作品更让广大普通读者和数学家为之着迷。

例1. 游戏机的"俄罗斯方块"中共有下面7种图形，每种"方块"都由4个1×1的小方格组成，现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）。

问：最多可以用这7种图形中的几种图形？

解析：用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①，仅展示一种。

下面证明不能7种图形方块都用一次。将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个。若7×4的长方形能用7个不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次，其中"品"字形如图③，必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6种方块各占2个黑格2个白格7个不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14，矛盾。因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法。

所以，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形中的6种。

再见，俄罗斯方块。2014年的最后一天，Game Boy版《俄罗斯方块》从任天堂商店中下架，这意味着，这款经典游戏从此退出历史舞台。

自1986年诞生于苏联，《俄罗斯方块》迅速风靡世界，并获得9项吉尼斯世界纪录。

《俄罗斯方块》留给每代人不一样的回忆。

例2．如图，棋子"马"能否从图中的位置出发，不重复、不遗漏地走遍半张棋盘（即每一点都走到，并且只走一次），并回到出发点？如果能，请给出走法；若不能，请解释其中的原因。

解析："马"走"日"字，每走一步有多种选择，走完半张棋盘可能出现的情况十分复杂，故从实际操作入手较困难。

将半张棋盘中的45个格点进行黑白相间染色（如图），由于棋盘中共有45个格点，黑点数与白点数不可能相等，图中共有22个O和23个●，因为马走"日"字，每步只能从O跳到●，或由●跳到O，所以马从某点跳到同色的点（指O或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步，现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有点23 22=45（个），不可能做到不重复地走遍所有地点后回到出发点。

例3．材料一：中国象棋体现了我国古人的智慧和传统文化的精髓．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子"马"走的规则是每步走"日"字形．例如：图中"马"所在的位置可以直接走到点A、B处；

材料二：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3 （﹣2）＝1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的"平移量"．"平移量"{a，b}与"平移量"{c，d}的加法运算法则为{a，b} {c，d}＝{a c，b d}．

下面在图中的象棋棋盘上建立直角坐标系，设"帅"位于点（0，0），"相"位于点（4，2）．

请解决下列问题：

（1）图中"马"所在的点的坐标为______．

（2）根据材料一和材料二，在整个直角坐标系中，不是棋子"马"的一步"平移量"的是_____．（可多选，填选项前的字母）

A．{1，2}B．{﹣2，1}C．{1，﹣1}D．{﹣2，﹣1}E．{3，﹣1}

（3）设"马"的初始位置如图中所示，如果现在命令"马"每一步只能向右和向上前进（例如图中的"马"只能走到点A、B处），在整个坐标系中，试问：

①"马"能否走到点C？答：_____；（填"能"或"不能"）

②"马"能否走到点（2018，2019）和点（2020，2021）？若能，则需要几步？为什么？若不能，请说明理由．

【解析】：（1）由"帅"位于点（0，0），"相"位于点（4，2），

∴"马"坐标为（﹣3，0）；

（2）由于马走"日"，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，

∴A、B、D可以是"马"的一步"平移量"，

故答案为C、E．

（3）①马可以先走到A，再走到C；也可以先走到B，再走到C；

故答案为能；

②由题意可知"马"的走法只有两种平移量（2，1）或（1，2），

设马沿着平移量（2，1）移动n次，沿着平移量（1，2）移动m次，

则马沿着平移量（2n m，2m n）移动，

如图马的初始位置是（﹣3，0），

走到点（2018，2019）时，向右移动2021，马向上移动2019，

∴2n m＝2021，2m n＝2019，

∴m＝2017/3（不合题意），

∴马走不到（2018，2019）；

走到点（2020，2021）时，向右移动2023，马向上移动2021，

∴2n m＝2023，2m n＝2021，

∴m＝673，n＝675，

∴能走到点（2020，2021），

需要沿着平移量（2，1）移动675次，沿着平移量（1，2）移动673次．

例4.证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识（匈牙利数学竞赛题）

【解析】：考虑其中一个点，设为A，从A点连出的5条线段染了两种颜色，则必有三条线段同色，设AB.AC、AD同为红色，若BC，CD，BD三线段中有一条红色，则必出现三边都是红色的三角形，若BC、CD、BD三条线段中没有一条红色，则这条三线段均为蓝色，这时△BCD就是一个三边都是蓝色的三角形，因而必出现三边都是同色的三角形.

所以世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识.

变式1．已知△ABC内有n个点（无三点共线），连同A、B、C共n 3个点．以这些点为顶点把△ABC分成若干个互不重叠的小三角形．现把A，B，C分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每个点任意染上红、蓝、黄三色之一．求证：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．

【解析】利用赋值法解答：

证明：把这些小三角形的边进行赋值：边的端点同色的，赋值0；边的端点不同色的，赋值1．于是每个小三角形的三边之和有如下三种情形：

（1）三顶点都不同色的，和为3；

（2）恰有两顶点同色的，和为2；

（3）三顶点都同色的，和为0．

设所有小三角形的边赋值之和为S，上述三种情形的三类小三角形的个数分别为a，b，c，于是S＝3a 2b 0c＝3a 2b．而注意到所有小三角形的边的赋值之和中，除了AB，BC，CA边外，其余的边都被算了两次，所以它们赋值之和为偶数，再加上AB，BC，CA三边赋值之和为3，所以S是奇数．

因此a是奇数．即三顶点都不同色的小三角形总数为奇数．

变式2．设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，设任何3个及3个以上的同色的点不共线．求证存在一个三角形，使得

（1）它的3个顶点涂有相同颜色；

（2）这三角形至少有一边上不包含另一种颜色的点．

【解析】本题主要考查了染色问题以及反证法的应用，利用反证法证明得出是解题关键．

证明：（1）∵S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点染上红色，其余的点染上蓝色，任何3个及3个以上的同色的点不共线，

∴对于任意的五点涂上红色、蓝色，则必有三点同色，结论（1）成立．

（2）若结论（2）不成立，可取顶点同色的三角形中面积最小的一个，

因为只有有限个三角形，这是可以做到的，记为△ABC，

由于此三角形的每一边上都有异色点，记为A1，B1，C1，则△A1B1C1也是同色三角形，且面积小于△ABC的面积，这与△ABC面积的最小性矛盾；故（2）成立．

染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点．什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多．

例4是拉姆赛理论的简单化、具体化。拉姆赛理论是一个高深的数学逻辑问题，26岁就去世的天才数学家拉姆塞提出，它的核心内容是任何一个足够大的结构中必定包含有一个给定大小的规则的结构、"世界上完全的无序是不可能存在的"

染色问题的解决和染色方法的运用，常与构造性、奇偶分析、反证法、抽屉原理等方法联系，需要的不是较多的数学知识，而是缜密的思维和较强的推理能力．

国际象棋棋盘中，交替染色是最直观最常见的染色模型。通过对对象的染色，对象间隐含关系变得明朗。当基本的交错染色方法失效时，寻找新的染色方法是解决问题的关键。

如俄罗斯数学家罗巴切夫斯基说："任何数学分支，无论怎样抽象，总有一天可被应用于观察世界的各种现象。"

拉姆赛（1903-1990），英国剑桥大学的一位年轻数学家和逻辑学家，著名的经济学家，他提出了著名的拉姆赛理论。

数学游戏促进了数学知识的传播，深入浅出、迷人有趣是数学游戏的基本特征，承载着朴素的数学原理、思想方法，在人们相互传诵游戏的过程中，相关的数学知识、数学思想方法传送、滋养着莘莘学子。火柴棒游戏、七巧板拼图游戏、斐波那契兔子问题、24点游戏、剪纸活动等经典数学游戏，历经千年而不衰，成为传播数学思想方法的重要载体。

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