简单理解黎曼几何（现代自然科学重要概念连载五）

数学是科学的先锋。马克思曾明确指出“一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步”。数学为科学研究提供了工具，数学推理为科学探索提供了研究方向。只有数学发展到更高水平，科学才能上升迈上新的理论体系。如在物理学领域，当数学发展水平处于欧几里得几何学时期，科学研究只能建立在静止力学的基础上，对应的科学体系是托勒玫的“地心说”；牛顿发明了微积分，科学研究才可能在动态力学的基础上进行，逐步建立了哥白尼—牛顿的科学体系；当数学发展到非欧几里德几何学阶段，爱因斯坦以发展演变的动态宇宙观，用黎曼几何推演，才发明了广义相对论，建立了当今的爱因斯坦—霍金的科学体系。

黎曼几何（Riemannian geometry）由德国数学家黎曼于1854创立，是对空间与几何概念的深入研究，是所有几何的基础。黎曼几何是爱因斯坦广义相对论推演的重要数学工具，并因其影响而广为传播。如今，黎曼几何学已广泛用于数学、物理等各个领域。

黎曼几何发展了空间的概念，黎曼提出了n维流形概念，他认为几何学中的研究对象为“多重广延量”，空间中的点可以用n个实数（x1, x2, …, xn）作为坐标进行表示。这种空间可以容纳不同的度量关系，而我们所处的空间是一种三元延伸量的特例。在欧几里得空间中，超出了已知测量范围的几何学就要依靠物理学来研究。针对这一问题，黎曼提出了在无限小的意义下，基于无限邻近点之间的距离仍然满足勾股定理。由此，将高斯的思想进一步一般化，给出了黎曼度量的概念，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量，而赋予黎曼度量的微分流形便为黎曼流形。经典微分几何曲面论中的诱导度量束缚了几何的发展，黎曼几何学帮助数学家和物理学家摆脱了这一现状，为近代数学和物理学的发展提供了帮助。

黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础，引入了流形曲率的概念，通过其可描述欧氏空间及更一般的空间，在所描述的空间中，图形的形状和大小不会因为其位置的变换而变化。在黎曼几何中，最重要的一种对象就是常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率恒等于零、曲率为负常数、曲率为正常数。前两种情形分别对应欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形是一种非欧几何学。因此，黎曼几何认为在同一平面内任何两条直线都有公共点。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面，黎曼空间本质上是弯曲的。欧几里得几何是黎曼几何的特例（欧几里得几何是弯曲为零的黎曼几何）。与传统空间不同，在黎曼空间里，坐标线不一定是直的，坐标线之间不一定是互相垂直的，坐标线的尺规也不一定是单位1，可以每个地方都不同。由此经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系，就是如今狭义意义下的黎曼几何，是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。

其后，黎曼几何学进一步发展，克里斯托费尔和利普希茨等解决了黎曼几何中的一个基本问题——微分形式的等级问题；里奇发展了张量分析方法，这一研究成果在广义相对论中广泛应用；霍普夫对黎曼空间微分结构与拓扑结构的关系进行了研究；嘉当开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了黎曼几何与李群之间的联系。及至1915年，爱因斯坦在广义相对论中运用黎曼几何和张量分析工具，黎曼几何的研究和应用更加广泛。时至今日，科学家对黎曼几何问题的研究还在不断进行，从局部发展到整体，并结合多个学科，由此对现代数学和物理学的发展产生了巨大影响。（李志民，责任编辑梁雨薇，图片源自网络）