清华教授坦言数学学会这5种方法（为数学强国积淀土壤的年轻）

许晨阳在北京大学怀新园。余萌摄

本报记者完颜文豪

11月13日,北京大学未名湖北岸,一处仿清代皇家园林式的院子里,是聪明头脑“扎堆”的地方,他们在凝神思考着世界级的数学难题。

年轻的80后许晨阳,刚从前些天被誉为“中国诺贝尔奖”——“未来科学大奖”的颁奖典礼的喧闹中抽身,回到这个安静的怀新园。坐在陈设简单的小办公室里,只听得到窗外秋风吹起枯叶的沙沙声。

“出了北大的门就觉得外面太吵了!”像大多数学家一样,许晨阳不喜欢热闹,大部分时间待在安静的院落里。灵感出现时,他在四合院里来回踱步。出差的航班上,他会看一两部“沉闷”的文艺电影,一年也能看四五十部,但极少进电影院看打打杀杀的商业片,觉得“那些太无聊了”。

前不久,这位出生于1981年的数学家,因其在“双有理代数几何学上作出的极其深刻的贡献”,获得第二届“未来科学大奖”的数学与计算机科学奖。

一同获奖的还有生物学家施一公、物理学家潘建伟,三人当中,许晨阳是最年轻的一个。

更年轻的时候,许晨阳在麻省理工学院做博士后,从事基础数学核心领域代数几何方向的研究,证明了该方向的一些著名猜想,在数学界公认的四大顶尖期刊上发表多篇论文。

此后,他获得了2016年度国际理论物理中心和国际数学联盟颁发的拉马努金奖；作为唯一一名亚洲人,被评为2017/2018年“庞加莱讲席”入选者；受邀在4年举办一次、有数学界的奥林匹克盛会之称的国际数学家大会上作45分钟的报告。

国际数学界的一颗新星

在数学系大楼里,他每天要待上12到14个小时,不停地在纸上演算,在黑板上写出密密麻麻的数字公式,“到了晚上,潜意识里还在延续着白天的演算”

这处名叫“怀新园”的院子里,7个小四合院分开两列,前后排列整齐,左右错落有致,中间一条由几个直角折线组成的长廊,把四合院连接起来,整个院落像个规则的几何图形。

许晨阳研究的代数几何,比这复杂得多,甚至“超出了人类直观的感知”。

在他的简单描述中,数学家可以把一个空间,分成三种基本的构造(曲面),平坦的、类似球面的正曲率和马鞍状的负曲率,给出任何一个代数几何的空间,用这三种基本的构造把它搭建起来。

这是双有理几何中最核心的纲领——极小模型纲领。上世纪80年代,这是数学界里一个活跃的研究方向,1990年,日本数学家森重文因其在此领域的研究成果,获得了国际数学界最高奖菲尔兹奖。

遗憾的是,此后10年间,这个领域的研究逐渐沉寂下来。直到2000年后,数学家们才取得重大进展,许晨阳与合作者解决的ACC猜想,便是其中最重要的几大进展之一。

怀新园靠后排的四合院,许晨阳坐在一间10平方米左右的办公室里,面前的办公桌上,一大摞稿纸和书籍毫无秩序地堆叠着。

这个年轻的数学家,戴着黑框眼镜,身穿浅绿色裤子,灰色毛衣里套着一件紫色衬衣,说起话来逻辑缜密、语速飞快,似乎语言总比脑袋里的想法慢半拍。

“做数学研究经常会有挫败感,解不出来难题是数学家的常态。”许晨阳回忆起解决ACC猜想时的曲折经历。

在美国普林斯顿读博期间,许晨阳尝试证明过去20年悬而未决的ACC猜想。在数学系大楼里,这个数学博士每天要待上12到14个小时,不停地在纸上演算,在黑板上写出密密麻麻的数字公式,大脑飞速地运转,“到了晚上,潜意识里还在延续着白天的演算,偶尔会梦到证明到了什么东西,醒来之后却记不起来了。”

一位数学家曾说过,数学就是朝着正确的方向犯错误。读博期间,许晨阳意识到要解决ACC猜想,需要先解决另外一些难题,然而“当时那些难题根本无从下手,到现在也无法解决。”

基础数学的世界,像一个浩大的迷宫,可能走了很远却发现面前是个死胡同,需要一次次返回原点,无数次尝试后,才能找到最终的出口。不同的是,“数学家在迷宫里会把死胡同标记出来,分析走了错路的原因。”

直到两年后,在麻省理工学院做博士后的许晨阳,在一次数学圈的聊天中,突然发现完全可以绕过那些无从下手的难题,直接向ACC猜想“发起进攻”。

最终,他找到了数学迷宫中的出口。

博士后期间,许晨阳已经完成了从学生到研究者的角色转换,他与合作者解决了一系列著名代数几何猜想,ACC猜想是其中之一。

连同在其他数学难题上取得的突破,许晨阳快速成长为国际代数几何界的一颗新星,美国多所顶级高校向他发出邀请。

2011年,许晨阳考虑回国的时候,恰逢中组部启动“青年千人计划”,他成为首批入选者。

建立代数几何间的美妙联系

数学界有一种主流的审美,是发现不同事物之间内在的联系。从代数里读到几何,从几何里读到代数,这令数学家异常兴奋

一年后,31岁的许晨阳,回到了熟悉的北大校园,这里曾是他进入代数几何世界的起点。这一年,他成为北京国际数学研究中心第一位副教授。

位于怀新园的数学中心,符合数学家对工作环境的一切设想,院落隐蔽安静,数学家们在四合院里容易碰面,交流研究进展,碰撞灵感。

这个参照世界名校数学系建立的年轻机构,让许晨阳觉得“这里的小环境很理想”,教授可以参与到中心的决策中。第二年,他被破格提升为教授。

一个比手表略大的格罗登迪克肖像,摆放在办公桌上。这位“在仿佛虚空的地方建成代数几何的万丈高楼”的数学家,是许晨阳崇拜的数学英雄。

陈景润和哥德巴赫猜想,是许晨阳这一代人从小熟知的故事。上了中学后,他读了更多世界著名数学家的传记。

数学家这个群体,在少年许晨阳的想象中,从不食人间烟火变成了扩充人类认知边界的英雄。

高中时,他痴迷于数学中抽象的理论,“却对需要动手实验的物理、化学提不起兴趣”。

1999年,以优异的奥数竞赛成绩被保送到北大数学系后,许晨阳第一次接触到大学数学的课程,“觉得特别激动,就像突然看到一个新的世界,这个世界里有巨大的理论框架,很多丰富深奥的东西。”

大学时期,许晨阳一心沉醉于浩瀚的数学世界,大部分时间在图书馆看论文、做演算。数学之外,他喜欢打球、听音乐,过着跟其他大学生并无二致的校园生活。偶尔演算累了,他会读昆德拉、村上春树、金庸,“在另外一个不同的世界待一会儿。”

采访中,许晨阳从桌子上摞起的书堆中,抽出一本黄色封面的书籍《GTM52-代数几何》。从大三毕业到研究生一年级,在北大的图书馆里,他花了一年多时间,啃下这本被学长们视作“天书”的代数几何入门书。

数学界有一种主流的审美,是发现不同事物之间内在的联系。数学家研究代数几何,希望从代数里读到几何,从几何里读到代数。一边是以数字与方程为语言的代数,一边是用图形与空间搭建起的几何,这看似不一样的事物,最后发现是一个东西,这种美妙的联系,令数学家异常兴奋。

34岁的刘毅,在数学中心从事低维拓扑研究。在他看来,把两个庞大的领域沟通起来,比如代数和几何或者拓扑之间,“这是追求一种美的境界”。

大学时的许晨阳,走进了代数几何这个美丽新世界,也在硕士毕业后,走进了普林斯顿数学系大楼。

在这个大师云集的顶级数学殿堂里,他还经常遇到电影《美丽心灵》的主角原型约翰·纳什,这位老人在现实世界里,像他的意识在数字与方程的王国里漫游一样,带着一张纸一支笔,沉默地行走在校园里,“偶尔在食堂里边吃饭,边在一张稿纸上演算。”

数学是一个自由和包容的世界,也是许晨阳理想中的科研世界,这里没有等级高下,没有阶层之分,在未知的探索面前人人平等,无论是陈景润式的苦行僧,还是思维与行为异于常人的数学怪人,“只要能做出漂亮的文章,取得重要成果,都会被尊重。”

许晨阳自认为是大多数普通数学家中的一个,在数学的世界里,他不再想成为格罗登迪克那样的数学英雄。尽管这位“代数几何之父”,把这个学科从一个跟其他数学学科平行的位置,摆到了数学中一个更中心的位置,“但他不大关心例子、从抽象到抽象的思维方式是独一无二的,后来模仿他的人大多不会成功。”

怀新园每个研究者的办公室里,墙面上都装有一张黑板,有的上面涂满了密密麻麻的数字和图形。尽管人类已历经数次工业革命,数学家仍拿着古老的“武器”在数学世界里披荆斩棘。一支笔、一张纸或一块演算的黑板,便可书写出一章章逻辑的诗篇,建立起数学世界的美妙联系。

在同事訚琪峥眼中,许晨阳对代数几何领域的各个方向都有极大兴趣,擅长把不同分支建立起联系来,“他首先在一个方向研究很深,但在其他方向又能触类旁通。”

这种数学上的才能,也让许晨阳在高维代数几何领域取得了一系列突破性的进展,他极大地推进了一百多年前德国数学家赫尔维茨在代数曲线情形的古典结果与上世纪80年代肖刚在代数曲面情形的工作；开创性地把极小模型纲领与K稳定性连接起来,解决了其硕士导师、数学家田刚上世纪90年代提出的关于K稳定性的猜想；与合作者发展了用极小模型纲领研究对偶复形的理论……

参与创建中国的代数几何学派

当时,“国内这个领域,教授级别的研究者只有个位数,”如今的研究者已比当时多了三四倍,原本无法开设此课程的大学,开始为年轻人打开代数几何这扇窗

美国物理学家弗里曼·戴森在一篇文章中,把数学家比喻成鸟和青蛙,“数学的世界既辽阔又深刻,鸟赋予它辽阔壮观的远景,青蛙则澄清了它错综复杂的细节,数学需要鸟们和青蛙们协同努力来探索。”

许晨阳理解中,鸟在高空中建立很多宏观的理论,青蛙在地上解决一系列猜想。而他自己更像数学家里的“青蛙”,乐于探索特定问题的细节,解决一个个难题来拓宽人类认知的边界。

历史上,诸多天才数学家着迷于探索数学世界里的未知。这对许晨阳同样是最大的乐趣,“数学就在那儿,我们一开始看不清楚,通过自己的推导、思考,把这个世界看清楚了,就像探险的人发现了新大陆,只不过数学家发现的新大陆存在于精神世界中。”

这位数学家办公室书架的一角,堆放着巴赫、贝多芬等古典音乐家的唱片,“偶尔也听爵士”,舒缓的音乐是思考数学难题时的背景音。

现实生活中,他把抽象的演算比喻成创作古典音乐,讲给数学家之外的朋友,“数学家把逻辑的线条一步步拼搭起来,就像作曲家循着音乐的规律写出一篇篇乐章。”

不少著名的数学家都尝试寻找数学与音乐的共通之处,甚至有研究过作曲的数学家断言,把作曲按照它的规律,可以分解成数学问题,“如果不懂音乐,直接去研究这些数学问题,几乎是不可解的。”

在许晨阳看来,数学并不是孤立存在的,与众多学科都有着万丝万缕的联系。但作为基础数学家,他不会功利地去追求“有用”,因为数学上的进展,所爆发出的能量,并不是几年甚至几十年能看出来的,“别的学科本身蕴含了数学规律,数学家发现了这些规律,未来那些学科就能直接运用、推动学科进展。”

1854年,德国数学家黎曼创立了黎曼几何,只是一个数学理论。过了半个多世纪,1915年爱因斯坦发现广义相对论的时候,发现他需要的数学理论,正好是黎曼已经准备好的数学理论,“爱因斯坦的数学不是强项,如果没有黎曼几何,可能就没有广义相对论。”

2012年,许晨阳刚回到北大,代数几何这样一个基础数学的核心领域,在中国的基础极其薄弱,“国内这个领域,教授级别的研究者还只有个位数,而其他数学领域的研究者都在几百人以上。”以至于在网络问答社区“知乎”上,有人把他回国执教,夸张地形容成“回国支教”。

这位回国后的青年数学家,计划着参与创建中国的代数几何学派。

如今,中国在这个领域的研究者,已经比当时多了三四倍。原本无法开设本科代数几何课程的大学,开始为聪明的年轻人打开代数几何这扇窗。

2014年,在瑞士做代数几何方向博士后的訚琪峥,第一次在国际会议上见到“当时已经很有名”的许晨阳。

彼时,訚琪峥只知道国内的代数几何与国际相比,“规模太小了”,而欧洲有更成熟的基础和环境。那次会议上的偶遇,让他觉得代数几何“在国内还是很有希望的”。

今年初,訚琪峥决定回国,加入数学中心。在许晨阳的影响下,越来越多的訚琪峥们回到国内,为中国的代数几何注入新鲜血液。

数学家陈省身曾提出“中国将成为21世纪的数学大国”的猜想,后来他希望中国成为数学强国。

许晨阳认为,数学大国在于从事数学研究的人数众多,数学强国则是在数学大国基础上,出现一批拓宽人类认知边界的数学大师,“数学大师需要一定的成长土壤,需要有人在一些学派上有所积淀。”

在数学的世界里,这个年轻的教授变得日渐忙碌,给北大本科生上课,指导博士,在数学中心开讨论班,组织国际学术研讨会,发现不同学生的天赋才能……

在中国的代数几何领域,他在努力为培养未来的数学大师积淀土壤。

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