古代数学家智慧的例子（文献只记载了一个）

我们都知道，数学是一切科学的基础，人类每一次重大的进步，都有数学在背后支撑，而人类数学的巨大进步，又少不了大数学家的推动。

作为中国第二个王朝，商朝最后一个都城极其庞大，总面积高达36平方公里，可以说是3000年前世界上最大、最先进的城市。规划建设如此庞大的城池，必然涉及到较为高深的数学，那么商朝有何数学成就，又有什么大数学家呢？鲜为人知的是，文献只记载了一位商朝大数学家，而且此人留下的成果家喻户晓。

根据文献记载，伏羲女娲两人一手持“规”、一手持“矩”，伏羲创造了“规”用来画圆，“矩”用来画方形。后来大禹治水之时，便左准绳、右规矩的来规划方向和形状。因此我们可以说，“规”、“矩”、“准”、“绳”是我们祖先传说中的最早使用的数学工具。以文献记载来看，中国很早就掌握了一定的几何、算术知识，但文献记载未必可信，上古中国人的数学水平还需要考古印证。

上个世纪，在河南舞阳地区，考古发现距今9000年的贾湖遗址，出土了不少刻符，有学者认为其中一些刻符是最古老的记数符号。后来，西安半坡遗址中发现的一些刻符，也被认为是数字记号。当然，这些刻符是不是数字，以及如果是数字符号的话，是不是意味着当时已经发展出了数学，还存在很大的争议。

不过，在甘肃天水距今8000年—4800年的大地湾遗址中，考古发现四件非比寻常的陶器，体积分别为264.3立方厘米、2650.7立方厘米、5288.4立方厘米、26082.1立方厘米，除了一件大约是2倍倍增之外，其他三件大约都是十倍倍增。从陶器体积倍增的规律来看，4800年前中国古人已经掌握不俗的算术与几何知识。除了陶器之外，考古还出土了很多商朝之前的庞大的城池遗址，这就进一步佐证了商朝之前中国数学水平。

经过几千年的积累与发展，商朝数学有了巨大的进步，甲骨文已经有所体现。

商朝已有四则运算，还发明了完整的十进制，甲骨文中有“一，二，三，四，五，六，七，八，九，十百，千，万”这十三个数码，可以轻松表达很大的数字。可能有人认为，发明这十三个数码不算什么，但实际上这是人类数学的一大步，因为只要通过这区区十几个数码，就能表达庞大的数字。古希腊记数系统不是十进制，全部采用字母表达，最多只能表达999，表达更大的数字时字母就不够用了，只能在字母上加符号“‘”等的方法来补充。其他的古埃及、古印度、古罗马、美洲玛雅等等，记数系统都不是十进制，表达数字与计算时都非常繁琐。因此，商朝记数系统的十进制，是一个伟大的发明，是人类数学的基础，所以马克思称十进制是“最美妙的发明之一”，而欧洲在中世纪之后才掌握完整的十进制。

商朝之后，周朝将“数”作为君子六艺之一，春秋时期人们已经普遍地掌握了十进制的计数方法，九九乘法口诀、整数四则运算和分数，且可以轻易使用“算筹”这种计算器进行运算。按照知识传播规律，必然先是少数人掌握，然后才会逐步扩散，因此春秋时这些数学知识的普及，说明早在商代时它们极有可能就已经出现了。

著名数学家吴文俊在《中国数学史大系》中指出：“甲骨文中所包含的数学知识相当多，有的骨片上部分甚至绝大部分为数字，是极其珍贵的文字数学史资料。”

可以说，商朝数学要领先于同时代的其他文明，已经达到了一个极高的水平。在这种数学环境之下，商朝时涌现了一批数学家，但只有一位叫商高的人流传了下来。

商高又名殷高，从名字上看就知道他与商朝有关，甚至可能是商朝王族出身，西周之初时周公旦称他“善数”，由于周公旦摄政只有七年，因此商高必然是商末周初人。根据《周髀算经》记载，商高主要有二方面的成就，即勾股定理与测量术。

一次，周公旦询问商高：“古时作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺寸去测量，请问数从何而来？”商高回答说：“数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”这句话的意思是，“数”是根据圆与方的道理而来，圆是从方形中而来，方形出于“矩”，而“矩”可以通过乘除计算而来。另外，古人无法直接计算圆的面积，就“化圆为方”，在圆内接正多边形，然后计算正多边形的面积，即“圆出于方”，当然这种计算肯定存在不小的误差。在古代时期，东西方都不约而同地采用了“化圆为方”的办法计算圆周率，一直延续到了近代。

接下来，商高指出如何计算“矩”，即“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”，将四边形变成两个直角三角形，而直角三角形的计算规则，即是我们熟知的“勾三股四弦五”。《周髀算经》已有“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”的记载，说明当时商朝时已出现勾股定理，因此勾股定理未必是商高的个人成就。商高计算直接三角形的办法，中国人称之为“勾股定理”，也被称之为“勾股测量术”。

除了勾股定理之外，商高还有一项成就：当时，周公旦向他请教如何使用“矩”，商高说“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”即使用“矩”可以测量高度、深度、里程、圆形、方形等，说明商高已经掌握了相关测量术。

六百年后，据说古希腊毕达哥拉斯学派也有这一的结论，后来欧几里得将之记录在《几何原本》中。尽管商高远早于毕达哥拉斯，但后来西方却称之为“毕达哥拉斯定理”，只有中国自称“勾股定理”。

从甲骨文的记载与商高的成就，也可以看到商代包括几何与算术在内的数学水平，远远超出我们的想象。如今谈及人类数学，很多人言必谈古希腊大师，但实际上中国先秦数学成惊人，并不弱于古希腊，数学大师也不少，只是如今很少人去挖掘他们罢了。