圆内接四边形的对角互补证明（圆内接四边形一个对角线是直径）

假定在一个圆的内接四边形中，其中一条对角线与外接圆的直径重合。证明四边形两个对边在另一个对角线上的投影是相等的。即AC是直径，求证DE=BF

证法一：延长CE到圆上另一端为G，延长AF到H， 连接CH和AG， 显然∠AHC=∠CGA=90°，又因为CG∥AH，所以△AGC≌△CHA, 因此GC=AH，根据对称性，可以证得DE=CF。（可以想象沿着过O平行于CG的直径对折所存在的对称）

证法二：划OP垂直于BD，垂足为P，P为弦BD的中点。 由于AO=CO， 它们在BD上的投影是EP和FP也应该相等（最简单的证明是用半径乘以对顶角的余弦值是相等的），即EP=FP。

等量减等量，仍然相等，所以DE=CF。

PS：关于圆内四边形的几何题有很多性质，对于面临中考的同学要学会总结，比如蝴蝶定理见蝴蝶定理的证明，同弧圆周角等，四点共圆定理等。