一个三角不等式的简单证明（一道高中三角题-证明一个恒等式）

一道高中三角题-证明一个恒等式

求证下面的恒等式成立：

sin3x=4sinx sin(60∘−x) sin(60∘ x)

证明：首先我们要证明一个引理，即下列三角恒等式成立：

在三角中有如下的恒等变换：

因此利用上述公式：

回到本题设α=x,β=x 120∘,γ=x−120那么原式变成：

sinx sin(x 120∘) sin(x−120∘)−sin3x=4sinxsin(x 60∘)sin(x−60∘),

这里暗含着若给定的等式成立，则要证明：

sinx sin(x 120∘) sin(x−120∘)=0.

最简单的方法是利用复数的欧拉定理，参见复数的欧拉定理：

In complex numbers, the three cube roots of unity add up to 0:

在复数中单位1的三个立方根的和为0：

此等式两边乘以任何数都是零，因此同乘以e的ix幂:

对于复数为0，说明实数部分和虚数部分都是0， 应用欧拉公式有：

sinx sin(x π3) sin(x−π3)=0.

因此给定的式子证明完毕。

实际上利用三角的和差化积公式也可以证明，

sinx sin(x 120∘) sin(x−120∘)=0.

这里只是提供了另一种思路把知识点连接起来。

由于公式:

是针对任意的角度α，β，γ都成立。

如果在三角形中α β γ=π，

那么有（α β）/2=π/2-γ/, 依此类推，带入有：