二阶线性常微分方程的特征方程（二阶常系数线性微分方程）

先来看个例子，下面的公式是为了适应相关应用而特意采用的表达形式，其中要求解的一元函数是x(t)，β（阻尼系数）和ω₀（固有角频率）是常数，f(t)是关于t的已知函数，今天小编就来说说关于二阶线性常微分方程的特征方程?下面更多详细答案一起来看看吧!

二阶线性常微分方程的特征方程

先来看个例子，下面的公式是为了适应相关应用而特意采用的表达形式，其中要求解的一元函数是x(t)，β（阻尼系数）和ω₀（固有角频率）是常数，f(t)是关于t的已知函数。

(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)

如果f(t)≡0，则此方程为齐次方程。显然，如果将(d²/dt²) 2β(d/dt) ω₀² = A看成是一个算符（或算子），则此是一个线性算符。采用算符表示相应的齐次方程（f(t)≡0）如下

A x = 0

如果x₁(t)和x₂(t)是此齐次方程的解，则其线性组合k₁ x₁(t) k₂ x₂(t)也必然是其解，其中k₁和k₂为任意常数。

一）齐次方程 A x = 0 的求解

求解这个齐次方程的关键在于确定其解的大致形式。我们知道，指数函数e^(λt)的n阶导数是

(dⁿ/dtⁿ)e^(λt) = λⁿe^(λt)

如果假设上述相关齐次方程的解具有形式 k e^(λt)，其中k和λ是常数，代入方程得

A k e^(λt) = k(λ² 2βλ ω₀²)e^(λt) = 0

显然e^(λt) ≠ 0，k ≠ 0（若k=0则x(t)≡0，这是个平凡解），由此得方程

(λ² 2βλ ω₀²) = 0

这个是齐次方程 A x = 0 的特征方程。由此特征方程可解得两个根λ₁和λ₂，若此根非重（即λ₁≠λ₂）则代入得通解

k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)

其中 k₁ 和 k₂ 为待定常数。

如果特征方程的根是重根，即λ₁=λ₂=λ=-β，则假设齐次方程的解具有如下形式

k₂te^(λt)

代入方程得

k₂((λ² 2βλ ω₀²)t 2β 2λ)e^(λt) = 0

显然λ² 2βλ ω₀²=0且2β 2λ=0，即k₂te^(λt)为方程的解。再加上解k₁e^(λ₁t)得重根下的通解

(k₁ k₂t)e^(λt)

现在考虑特征方程的两个复数根的情况，即

λ=(-β±j√(ω₀²-β²))

代入通解k₁e^(λ₁t) k₂e^(λ₂t)得

e^(-βt)(k₁ e^( jωt) k₂ e^(-jωt))

其中ω=√(ω₀²-β²)

实际解为其实部，即

x(t) = e^(-βt)(k₁ cos(ωt) k₂ cos(ωt))

总结上述解，可归纳为三种情况

1）β>ω₀

此为过阻尼，无振荡。

2）β=ω₀

此为临界阻尼，无振荡。

3）β<ω₀

此为欠阻尼，振荡。

此外，还有几个需要关注的参数

1）ω=√(ω₀²-β²))

振荡角频率

2）τ=1/(2β)

能量衰减的时间常数

3）Q=ωτ

品质因数

二）非齐次方程 A x = f₀cos(ωt) 的解

将方程表示成复数形式，即

A x = f₀e^(jωt)

假设此方程有如下形式的解

K e^(jωt)

其中K是个复常数，代入方程得

K(ω₀² - ω² j2βω)e^(jωt) = f₀e^(jωt)

解得K为

K = f₀/(ω₀² - ω² j2βω)

即得特解

[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt)

再加上齐次方程的通解，便得到此非齐次方程的通解

[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)

或

[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) (k₁ k₂t)e^(λt)

三）应用举例

前面对二阶常系数线性齐次方程和f(t)=f₀cos(ωt)的特定非齐次方程给出了求解过程，下面具体分析几个应用

1）弹簧阻尼振动系统

此系统遵循三个规律

a）牛顿第二定律——F = m a = m (d²/dt²)x

b）胡克定律——F = - k x

c）摩擦力——F = - γ v = - γ (d/dt)x

按力的叠加原理得方程

(d²/dt²)x (γ/m)(d/dt)x k/m = f(t)

其中f(t)为外加力。

对比方程(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)，可知

β = γ/(2m)

ω₀² = k/m

特别的，若f(t)=f₀cos(ωt)（受迫振动）时，其稳态振幅是

f₀/√((ω₀² - ω²)² 4β²ω²)

=f₀/√(((k/m)² - ω²)² (γ/m)²ω²)

当ω=√(ω₀²-2β²)=√(k/m-(γ/m)²/2)时（即共振），具有最大振幅

f₀/(2β√(ω₀²-β²))

=f₀/((γ/m)√(k/m-(γ/m)²/4))

显见，β较之ω₀越小，则ω越接近于ω₀，而此时振幅越大。

2）具有激励源f(x)=U₀sin(ωt)的RLC串联电路

显然，其KVL方程为

R i (1/C)∫i dt L(d/dt)i = U₀sin(ωt)

两边求导数得

(d²/dt²)i (R/L)(d/dt)i i/(LC) = (ωU₀/L)cos(ωt)

对比方程(d²/dt²)i 2β(d/dt)i ω₀²i = f₀cos(ωt)，有

β = R/(2L)

ω₀² = 1/(LC)

f₀ = (ωU₀/L)

类似可得到各种情况下的解，在此略。

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