如果地球是一个生命体 如果地球是一个立方体

你有没有想过，如果地球不是球形的，生命会是什么样子?我们理所当然地认为这颗行星的旋转对称能让我们平稳地穿越太阳系，让我们看到完美的日落。一个圆的地球也让我们很容易找到从A点到B点的最快路径:只要沿着穿过这两点的圆走，然后把球体切成两半。我们使用这些最短路径，称为测地线，以此来规划飞机航线和卫星轨道。

但如果我们生活在一个立方体上呢?我们的世界会更不稳定，我们的视野会弯曲，我们的最短路径会更难找到。你可能不会花太多时间想象立方体上的生活，但数学家会:他们研究各种不同形状的旅行是什么样子的。最近一个关于十二面体往返的发现改变了我们看待一个我们已经观察了几千年的物体的方式。

在给定的形状上找到最短的往返路线似乎就像选择一个方向并沿直线行走一样简单。最终你会回到你开始的地方，对吧?这取决于你走的是什么形状。如果是球体，是的。(是的，我们忽略了一个事实，即地球并不是一个完美的球体，它的表面也不是很光滑。)在球体上，直线路径遵循“大圆”，这是像赤道一样的测地线。如果你绕赤道走，大约25000英里之后，你会绕一圈回来，最后又回到你出发的地方。

在一个立方空间中，测地线就不那么明显了。在单个面上找到直线路径很容易，因为每个面都是平的。但是如果你在一个立方体的世界里行走，当你到达一个边缘时，你如何继续“直”走?

有一个有趣的数学问题可以解答我们的问题。想象一下，一只蚂蚁在一个立方体的一角，它想去另一个角。立方体表面上从A到B的最短路径是什么?

你可以想象蚂蚁有很多不同的路径。

如果这个立方体是纸做的，你可以沿着边缘剪开，然后把它弄平，得到一个像这样的“网”。

在这个平坦的世界里，从A到B的最短路径很容易找到:只要在它们之间画一条直线。

要看立方体世界的测地线是什么样子，只要把立方体放回去。这是最短路径。

将立方体压平是可行的，因为立方体的每个面本身都是平的，所以当我们沿着边缘展开时，没有任何东西会被扭曲。(类似的“展开”球体的尝试是行不通的，因为我们无法在不扭曲球体的情况下把它弄平。)

现在我们对立方体上的直线路径有了一个概念，让我们重新考虑我们是否可以沿着任何直线路径走最终回到我们开始的地方。不像在球面上，在立方体上并不是每条直线都要绕一圈。

但往返旅行确实存在——但有一个条件。请注意，蚂蚁可以沿着我们在上面标出的路径继续前进，最终回到它开始的地方。在一个正方体上，经过一个圆会产生一条看起来更像菱形的路径。

在这条往返路线中，蚂蚁必须经过另一个顶点(B点)才能回到起点。也就是说:每一条从同一个顶点开始和结束的直线路径都必须经过立方体的另一个顶点。

如下五个柏拉图多面体中的四个是成立的。在立方体、四面体、八面体和二十面体上，任何从同一顶点开始和结束的直线路径都必须经过沿途的某个顶点。数学家们五年前就证明了这一点，但十二面体不在他们的名单上。我们稍后再回到这个问题。

为了理解为什么这个关于测地线的事实在五个柏拉图多面体中的四个上都成立，我们将采用“翻滚”的方法来研究这些路径，然后我们将切换到一个四面体的世界，在那里翻滚的路径更容易研究。

想象一下，从一个四面体的顶点出发，沿着一个面沿着一条直线走出去。让我们确定四面体的方向，使路径从底面开始。

当我们遇到一条边时，我们将把四面体翻转过来，这样我们的路径就会在这个面上继续，最终到达底部:

这个翻滚图给了我们一种追踪路径的方法，就像我们在立方体的网络上做的那样:

上面的翻滚路径代表了四面体表面上的这条路径:

在这里，四面体的五个滚动对应于路径穿过的另外五个面。

现在我们可以把四面体表面上的任何路径想象成这个翻滚空间中的路径。我们把起始点设为A然后看一下这个点在跌落后的终点。

当我们的路径从A离开时，四面体会向另一边翻转。这使A离开地面。

顶点A暂时悬浮在我们的翻滚空间之上。在创建翻滚空间时，我们通常不会指明A的位置，但如果我们向下看，它就会出现在这里。

随着路径的继续，四面体再次跌倒。它可以向两个方向移动，但不管哪个方向，A都会回到地面。

当我们让四面体向每个可能的方向翻滚时，我们最终得到一个像这样的翻滚空间:

这就创建了一个网格系统，如下是四面体的等边三角形面结合在一起的方式。

这个网格系统告诉我们关于翻滚空间的两个有趣的事情。首先，四面体的顶点可以降落的点都是“格点”，或者是整数坐标的点。这是因为坐标系中的一个单位是四面体的一条边长。

第二，看看a会在哪里结束。

A的坐标总是偶的。只要A在地上，它就会在两个翻滚后回到地上，所以A可能的着陆点在每个翻滚的方向上都间隔了两个边长。

现在我们来看看测地线是怎么回事。回想一下,一个路径的四面体开始和结束在将直线段下跌空间开始在(0,0)和结束时另一个a和路径的起点和终点都是一个,有一些很有趣的路径的中点。

即使在这个弯曲的坐标系中标准中点公式仍然适用，所以我们可以通过对端点的坐标求平均值来得到中点的坐标。因为起点的坐标都是0终点的坐标都是偶数，所以中点的坐标都是整数。这使得中点成为一个格点，正如我们在上面观察到的，因此它对应于翻滚空间中的一个三角形顶点。

例如，从(0,0)到(4,2)的路径中点(2,1)是我们网格中的一个格点

这意味着在四面体的表面上，这条从A到自身的路径必须经过另一个顶点。

由于A的每个可能的着陆点在这个系统中都有偶数坐标，所以从A开始到A结束的每一条测地线的中点都对应于一个格点。这说明在四面体表面上从A到A的每一条测地线都必须经过另一个顶点。

这是数学家戴安娜·戴维斯(Diana Davis)、维克多·多德(Victor Dods)、辛西娅·特劳布(Cynthia Traub)和杰德·杨(Jed Yang)在2015年提出的一个严谨论点的一个简单版本。他们用一个相似但复杂得多的论证来证明立方体是一样的。第二年，Dmitry Fuchs证明了八面体和二十面体的结果。正因为如此，我们知道对于四面体，立方体，八面体和二十面体，没有一条从一个顶点返回自身的直线路径不经过另一个顶点。

但直到2019年数学家Jayadev Athreya、David Aulicino和Patrick Hooper证明了在十二面体表面存在这样的路径是可能的之前，这一直是一个未解之谜。事实上，他们在十二面体的表面上发现了无数条直线路径，它们从同一顶点开始到终点，没有经过任何其他顶点。

几千年来，人们一直在一起研究柏拉图立体，因为它们有很多共同之处。但现在我们对十二面体有了全新的认识，这是完全不同的。这个神秘的发现表明，无论我们对数学的理解有多好，总有更多的东西需要学习。它还表明，从问题到解决方案的路径并不总是看起来像一条直线。

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