椭圆轨道天体运动的时间周期公式 天体椭圆运动中的真假加速度问题探讨教研分享系列143

一、问题提出

​​ 一位朋友通过QQ提了一个问题：

事实上，这个问题困扰了不少师生，其中号主本人求学时就困惑不解，直到站上讲台授课时还感到困难。值得指出，这个问题隐藏于“天体椭圆运动中真、假加速度问题”之中。

号主不才，尝试着分析这个问题，若有错误，敬请大方之家批评指正。

​​三、天体椭圆运动中真假加速度

​1、引论

开普勒行星运动定律告诉我们，行星的运动轨道是椭圆，太阳位于轨道椭圆的一个焦点上。

事实上，天体围绕“中心天体”做何种运动，由初始条件决定，理论上可以证明这一点，航天实践中亦能验证。其中三个宇宙速度，可谓是对此结论的理论与实践双论证。

（图片来自网络）

下面就以人造卫星为例进行探讨。在上面图片中红点处，如果卫星速度沿切向方向且速度恰好等于7.9千米每秒，则卫星做匀速圆周运动，轨道即为图片中的圆；如果速度介于7.9～11.2之间，卫星做椭圆运动，轨道为图片中的椭圆。下面就红点处讨论真、假加速度问题。

​2、正论

①真加速度

从动力学视角计算得到的加速度为真加速度，即根据牛顿第二定律计算得到的加速度为真加速度。设图片中的圆轨道半径为R，地球质量为M，那么真加速度计算如下：

事实上除了从动力学视角可计算得到真加速度，还可以从运动学视角计算得到真加速度，但是这个真加速度的数学表达式与运动轨道相关，例如：

如果是图片中的圆轨道，此时此地卫星速度为7.9千米每秒，记为V1，则有：

如果是图片中的椭圆轨道，设此时此地卫星速度为v2，则有：

上面式子中的分母是什么东西？它是该椭圆红点处的曲率半径。

​3、假加速度

在实际教学中，师生经常写下面式子中的等号右边分数式，此分数式号主称为假加速度。

从运动学视角计算曲线运动的加速度，中学师生并不熟悉，在高中物理课程标准中也不做要求，所以师生失去了从运动学视角深度理解加速度概念的机会。另外，尽管教材从运动学视角推导了向心加速度公式，但是就这一推导过程和结果，一方面师生未重视，另一方面更没有深度反思其物理知识本质，因此对向心加速度公式的理解趋于肤浅也就情有可原了。当然，正是因为如此，师生在理解卫星变轨问题时极容易产生困惑，甚至形成思维障碍，有的还犯科学性错误。

然而，就高中物理课程标准要求而言，运用这个假加速度未尝不可，下面讨论其运用。

​4、运用

号主在讲解有关问题时也用这个假加速度，当然换了一个名称，称之为“所需加速度”。因为真加速度（可供加速度）＜假加速度（所需加速度），所以卫星要做离心运动（相比较图片中的圆而言）。下面再讨论图片椭圆轨道中的远地点，设此地速度为V3，远地点到地心的距离为r。那么真加速度为：

在航天实践中或考题中，卫星会在此处点火加速实现变轨，变成以r为半径的圆轨道，此时的速度为V4，则从运动学中计算的真加速度也为：

中学课堂中还会写下面假加速度：

因为真加速度比假加速度更大，所以到远地点后则要做近心运动【椭圆轨道（航天工程中称之为转移轨道）相比于r的圆轨道（即预设卫星轨道）而言】。

​三、解决问题

回到朋友中的问题来讨论。朋友就真、假加速度的理解不够深入，在思维中出现了思维障碍，在讲题中就无法游刃有余、难以做到行云自如，有的甚至犯科学性错误。

这位网友如同所有中学教师一样，运用离心运动（或近心运动）理论来解释变轨问题，但是网友对真假两个加速度（可供加速度和所需加速度）的理解存在思维障碍，无法辩证地理解两个加速度，于是出现“合而为一”即模糊混淆的错误。在没有寻找到通途时，采用了牵强附会、浑水摸鱼的“授课策略”——万有引力加速度＜万有引力与喷气动力之合加速度。

事实上，点火喷气加速过程是短暂的，在变轨问题讨论中可不计其时间，即用“爆炸模型”来处理。也就是说，运用离（或近）心理论解释变轨问题时，比较的是真加速度与变轨后的假加速度。若两加速度相等，则为匀速圆周运动，若不相等，则为椭圆运动。

​​​四、拓展讨论

在中学物理中，就加速度概念的理解，有些教学指导用书把加速度计算公式划分为决定式和定义式，所谓决定式就是根据牛顿第二定律从动力学视角计算加速度，所谓定义式就是根据速度变化率从运动学视角计算加速度。从一定意义上而言，牛顿第二定律的本质内涵等价于：两个不同角度计算的加速度相等。

牛顿第二定律作为实验定律，其正确性和普遍性都应当接受实验检验。注意到，就匀变速直线运动情况，中学教师能够从实验角度验证（探究）两个加速度是否相等以实验论证牛顿第二定律的正确性，然而就曲线运动情况，就忽视了这一点——牛顿第二定律是否可以推广到曲线运动情况的实证逻辑正是：实验论证两个加速度是否相等。

有些中学教师，包括有些高校教授，以某些理由（例如减负、降低难度）就“圆周运动”主题单元教材编写建议删除向心加速度的推导内容。持这种建议的老师，在本质上就是对牛顿第二定律的本质内涵不理解，就科学探究活动的本质不理解，也是科学素养不够厚实的表现。

当然，一般的曲线运动，由加速度定义式出发从理论上推导计算其加速度（本文称为真加速度）是困难的，但是就匀变速曲线运动、匀速圆周运动情况，是可以从加速度定义式上进行理论推导计算的。纵然，对中学生而言，这确实是教学难点，但这个难点是可以突破的。从教学逻辑视角而言，这是牛顿第二定律教学的应然要求（牛顿运动定律的教学是贯穿整个高中力学的，从学科教学而言，整个高中力学都是在探究牛顿运动定律的正确性和普遍性。大多数教师把必修一中的“牛顿运动定律”作为这一内容的新授课，而其他地方都作为牛顿第二定律的运用，这是高中物理教学中的一个隐藏极深的教学缺憾）。

​附录：曲率半径及椭圆的曲率半径

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