北师大版七年级数学平行线的定义（北师大版七年级数学）

【典型例题】

类型一、相交线

例1. 如图，与是同位角的是__________．

【分析】根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．

解：这四个图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，符合的有图①②．

故答案为：①②．

【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

【变式1】如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是_____．

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解析获取方式见文末

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例2. 如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB

(1) 若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；

【点拨】本题利用垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．

【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．

（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；

（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．

①用含x的代数式表示∠EOF；

②求∠AOC的度数．

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类型二、平行线的性质与判定

例3.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°．

（1）求证：AB∥CD；

（2）求∠C的度数．

【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得出∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．

（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，

∴AE∥GF，

∴∠2＝∠A，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠A，

∴AB∥CD；

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，

∵∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，

∴∠3＝25°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠3＝25°．

【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，牢记：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦成立．

【变式3】如图所示，已知，试判断与的大小关系，并说明理由.

【变式4】如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB.

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类型三、实际应用

例4.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

【变式5】已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．

（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；

（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　 　°时，AB∥CD；

（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；

（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．

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