求证ad是三角形abc的角平分线（在直角三角形中AD是高）

今天，数学世界给大家分享一道初中几何题，此题难度较大，解决此题的关键是要熟练运用射影定理和角平分线的性质，并要灵活运用三角形的面积，以及一元二次方程的知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初中数学题）在直角三角形ABC中，已知∠BAC=90°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若△ABE的面积为30，△AED的面积为6，求△ADC的面积。

分析：此题要求三角形的面积，由于题中没有给出任何线段的长，所以只能利用三角形的面积比进行计算。因为△ABE的面积为30，△AED的面积为6，所以BE/DE=30/6。若设DE=a，CD=xa，则BE=5a，S△ADC/S△ADE=x，只要求出x的值，那么△ADC的面积即可求出。

下面就要想办法求出x的值，我们可以运用射影定理，得出AC^2=CD·BC，AB^2=BD·BC，于是AC^2/AB^2=CD/BD=x/6。由于AE是∠BAC的平分线，可以推出AC/AB=CE/BE=（xa a）/5a=（x 1）/5，联立两个等式即可求出x的值，到此问题即可解决。

解：设DE=a，CD=xa，则S△ADC/S△ADE=x，

由△ABE的面积为30，△AED的面积为6，

得BE=5a，S△ADC=6x。

∵在直角三角形ABC中，AD是BC边上的高，

∴由射影定理，得AC^2=CD·BC，AB^2=BD·BC，

∴AC^2/AB^2=CD/BD=x/6，①

∵AE是∠BAC的平分线，

∴AC/AB=CE/BE=（xa a）/5a=（x 1）/5，②

联立①②得[（x 1）/5]^2=x/6，

解得x=3/2或2/3，

∴S△ADC=6x=9或S△ADC=6x=4，

即△ADC的面积为9或4。（完）

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