概率论多维随机变量及其分布总结（随机过程之概率空间）

前面我们介绍了σ代数，那么σ代数跟概率空间(Ω,F,p)有什么关系呢？

在概率空间(Ω,F,p)中，Ω是状态空间或者成为样本空间，F为事件族，P是概率测度。

概率空间其实是衍生于测度空间，而测度空间是由可测空间加上测度形成的。

什么是可测空间？样本空间跟样本空间的一个σ代数共同形成了一个可测空间。

为什么σ代数是样本空间的可测集族。

第一，可测集的性质表明可测集族说明可测集族是一个σ代数。

第二，根据σ代数的性质，以及可测集的定义可以推出σ代数是可测集族。

那么什么是测度？

测度是欧式空间上关于点集的一种度量，是长度、面积和体积在高维度空间上的推广，测度与普通的度量指标比如长度、面积和体积具有相同的性质，但更加抽象。

关于可测集，测度空间的更加详细的知识，大家可以参阅实变类的教材。

理解了测度空间，再看概率空间，就容易许多了。概率空间其实是测度空间的一种。

以掷一个骰子一次为例，其结果共有六种基本情况{1,2,3,4,5,6}，因此，其样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}。

事件为Ω的子集，必须进行定义。比如定义掷出的骰子的点数小小于4一个事件，定义为{1,2,3}，掷出的骰子的点数大于等于4，定义为{4,5,6}，满足概率空间的要求，这两个事件联合空集和样本空间全集就可以构成一个西格玛代数，与Ω形成一个可测空间，加上概率测度就可以形成概率空间了。但如果仅由这两个事件及空集和样本空间全集构成的西格玛代数形成的概率空间，则在定义基于该概率空间的随机变量则比较有限，比如只能定义一个随机变量A为小于4或大于等于4，而无法定义随机变量B为小于5或大于等于5等等。因为在事件族（西格玛代数）中，事件有限，随机变量的定义就会被限制。

那么如果直接定义事件族为Ω的子集全体，而Ω的子集全体是Ω的西格玛代数，则此时二者就可以构成一个新的可测空间，加上概率测度，就形成了一个新的概率空间。由于事件族为Ω的子集全体,那么基于此空间定义的随机变量就自然多很多了。

那么，在考虑事件族的构成时，需要考虑注意什么？由于概率测度可能进行运算，所以要并入事件族的事件必须是概率测度可测的,而整个事件族必须满足西格玛代数的条件，在此基础构建的概率测度才能满足测度函数的要求，包括测度的西格玛可加性。