数学运算解题思路和技巧（从数学试题来认识）

［摘 要］从不同时期的数学教学大纲、数学课程标准中“教学目的”或“课程目标”对数学运算能力的描述变化，可以充分认识数学核心素养“数学运算”的能力要求.

［关键词］数学课程标准；核心素养；数学运算能力

从考试大纲及其说明中，可以了解考试大纲对运算能力的要求.《教学大纲》规定如何进行教学，而《考试说明》则规定考试的性质、内容、形式等.因此，《考试说明》与《教学大纲》是对立统一、相辅相成的.

1.《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》（中华人民共和国教育部制定，1978年2月第1版）的“教学目的”中对数学运算能力的要求是“具有正确迅速的运算能力”.

［例1］1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）第二大题第1小题：

求（-1 i）20展开式中第15项的数值.

解：第15项为

本小题结合了二项式的展开考查复数的运算能力，考查考生“正确迅速的运算能力”.

2.相应的数学科《考试说明》对复数运算这一内容的“考试要求”是“掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义”.

［例2］1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）第三大题解答题第（22）小题（本小题满分8分）：

已知复数z=1 i，求复数

的模和辐角的主值.

因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=-1，所以辐角的主值

本小题考查复数基本概念和运算能力.

3.相应的数学科《考试说明》对复数运算这一内容的“考试要求”是“掌握复数的运算法则，能正确地进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法的运算，能正确地进行复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算，并理解复数运算的几何意义”.这里明确提出了对复数的三角形式运算的要求.

［例3］1994年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第三大题解答题第21题：

已知z=1 i.

由题设条件知（a 2）－（a b）i=1－i.

根据复数相等的定义，得

解得

本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.

4.对“运算求解能力”的要求为“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”.

［例4］2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第（4）题：

如果复数(m2 i)(1 mi)是实数，则实数m=（ ）.

解析：由(m2 i)(1 mi)=(m2- m) (m3 1)i是实数，得m3 1=0 ⇒m=-1，故选B.

若考生能够知晓共轭复数的乘积是实数，则有m2=1且m=-1，选B.对“运算求解能力”的要求减少了“实施运算和计算的技能”，体现了考生对“数学模式作出思考和判断”.

5.数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础.

数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.

通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

［例5］广西2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题第（2）题：

本题主要考查复数的模及共轭复数的概念，考查了考生复数运算的能力.

［例6］2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题第（2）题：

本题主要考查复数的概念，考查考生复数运算的能力.

［例7］2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第2题：

设复数z满足(1 i)z=2i，则|z|=（ ）.

本小题主要考查复数基础知识，考查考生复数的运算能力.

［例8］2019年普通高等学校招生全国统一考试文理科数学第2题：

若z(1 i)=2i，则z=（ ）.

本小题主要考查复数基础知识，考查考生复数的运算能力.

文/唐光明 广西南宁市第二中学（530000）

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