我的高中数学教师（一位高中数学教师眼中的）

海伦公式

01

本节所需要的一些基础知识:

①在直角三角形中，我们有射影定理（如图一）：

CD^2=AD*DB, AC^2=AD*AB, BC^2=BD*BA

②在一般三角形中，我们有余弦定理：

在△ABC中，∠A、∠B和∠C的对边分别为a、b、c，则

a^2=b^2 c^2-2bccosA，b^2=c^2 a^2-2cacosB，c^2=a^2 b^2-2abcosC。

③在一般三角形中：

AD=ACcosA,BD=BCcosB;三角形的面积S=1/2ab·sinC=1/2bc·sinA=1/2ca·sinB.

④已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2 y1·y2

如在图二中，

AB·AC=|AB|·|AC|cosA=|AB|·|AD|；BA·BC=|BA|·|BC|·cosB=|BC|·|BD|

但是在图三中，

AB·AC=|AB|·|AC|cosA=|AB|·|AD|；BA·BC=|BA|·|BC|·cosB=—|BC|·|BD|

02

海伦公式：假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 公式里的p为半周长:p=(a b c)/2

证明一：（利用勾股定理）

如图二，已知△ABC的三边长分别为a,b,c，CD为AB边上的高，记hc=CD,q1=AD,q=bd.由勾股定理得

上面是就高CD在三角形内的情形讨论的，当CD在三角形外时，

同理可得:

这个公式就是海伦（Heron）公式。

证法二：

上述证明过程可以化简，比如q的形式可以直接由：

证法三：

03海伦公式与“三斜求积术”

海伦公式

公元一世纪，希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出了一个用三角形三边表达三角形面积的公式。这个公式简洁、对称，极具美感，深深揭示数学之美、数学之妙。

据称《度量论》一书曾一度失传，直至1896年舍内在土耳其发现了它的手抄本后，才于1903年校订出版。

又据阿拉伯数学家比鲁尼称，该公式源于阿基米德，这个考证也曾得到圈内人士的认可（尽管如此，人们还是将它冠以海伦之名）。

三斜求积术

1247年前后，我国宋代数学家秦九韶在其所著《数书九章》中，给出了另一个用三边表达三角形面积的公式——“三斜求积式”。

秦九韶三斜求积

公式基于国人善用的“勾股”思想，因而公式也具有此形式。《数书九章》卷五第二题，原文如下：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？

答曰：“三百一十五顷”

术曰：以少广求之，以小斜幂（c2），并大斜幂(a2)，减中斜幂(b2)，并半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；以为从隅，开平方，得积（S）。

译成现代式子，并把题内的数值代入上式，得：

以“里法”300自乘的90000乘之，“亩法”240约之，再以“顷法”100约之，得田为315顷，这是原题的答案，即（84×90000）÷（240×100）=315（顷）。

这两个公式虽然形式上并不相同，但经过变化后可以相互转化，因而实质上是一样，这个公式也被称为：海伦——秦九韶三斜求积公式。

秦九韶

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

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