微积分学的由来（微积分在18世纪的发展）

在数学发展的历史长河中，欧几里得《原本》是数学史上的第一座丰碑。两千年后，微积分的诞生创造性地把数学推到了一个崭新的高度——它宣告了古典数学的基本结束，同时标志着以变量为研究主体的近代数学的开始。

尽管早期微积分的概念还比较粗糙，可靠性还受到怀疑，但它在计算技术上展示出来的那种卓越的力量，使得此前的一切传统数学都相形见绌。透过微积分的发明，人们看到了数学的新的福地。整个17、18世纪，几乎所有的欧洲数学家都对微积分表现出极大的兴趣并作出积极的奉献。对传统的批判，对新方法的追求，对新领域的拓展，使他们共同谱写了一曲数学史上的“英雄交响曲”！

1.伯努利兄弟

在欧洲大陆，最早追随莱布尼兹学习微积分的是瑞士的伯努利兄弟。莱布尼兹在《博学学报》发表的数学论文，深深地吸引了雅各·伯努利(Jakob Bernoulli,1654-1705)和约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748)。雅各原来学习神学，约翰学习医学，是莱布尼兹的数学论文改变了他们的人生轨道，兄弟二人都决意去当数学家。他们成为莱布尼兹最早的学生，也是最早认识到微积分的惊人力量，并将其应用于各种各样问题的数学家。他们经常与莱布尼兹交换思想，可是兄弟二人在学术上却是势不两立的劲敌。

1670年左右，16岁的雅各·伯努利把他的兴趣从神学转向数学。他自学了笛卡尔的《几何学）、沃利斯《无穷的算术》和巴罗的《几何讲义）。1684年，他一边与莱布尼兹通信，一边开始自己的数学研究。雅各·伯努利对数学的贡献主要有：极坐标的早期使用、曲率半径、高次平面曲线、等时曲线等。雅各是概率论的早期研究者之一，他的著作《猜度术》是关于概率论数学研究的重要著作。现在，只要你翻开任何一本关于概率论的书，都会见到以“伯努利”命名的各种公式和定律。雅各最为人们津津乐道的轶事是他静心于对数螺线的研究，这种螺线有着十分奇妙的性质，在多种数学变换下，仍然变成对数螺线。更奇妙的是，鹦鹉螺的生长年轮就是一条对数螺线！大自然中蕴含的神奇的数学奥秘，令雅各深深赞叹。他仿照阿基米德，要求将对数螺线刻在自己的基碑上，以作永久纪念。

约翰·伯努利比哥哥雅各小13岁，却有着极高的数学天赋。争强好胜的虚荣心使他脾气暴躁、爱妒忌。1691年，约翰用微积分的方法解决了雅各提出的“一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点，求这弦形成的曲线”。伽利略认为这个曲线是一段抛物线，雅各也这样看，但是却无法解答这个问题，而约翰证明这是“悬链线”，因而感到莫大的骄傲。约翰的研究内容很广泛，包括曲线族的正交轨线、解析三角学、指数演算等。他关于最速降线问题的贡献，使他被誉为变分法的开创者。约翰还是一位成功的教师，他培养了欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)、洛比达这样著名的数学家。他的三个儿子也在他的教育和影响下，赢得了18世纪数学家和科学家的盛名。

伯努利家族三代9人中有8位是著名的数学家，这成为遗传学上的不解之谜。人们说他们离不开数学，就像是酒鬼离不开酒吧。

2.泰勒和马克劳林(Colin Maclaurin，1698-1746)：牛顿学说的孤独继承者

任何学过微积分的人对泰勒和马克劳林的名字都是非常熟悉的。泰勒是一个热心崇拜牛顿方法的人，曾在《增量方法及其逆》(1715)一书中发展了牛顿的方法。在该书中他奠定了有限差分方法的基础，并建立了单变量的幂级数展开式：

泰勒级数被欧拉广泛应用于微分学。不过，只有当拉格朗日用带余项级数作为其函数理论的基础，泰勒级数的重要性才被确认。

马克劳林是数学史上的一位奇才。他11岁就考上了格拉斯哥大学，15岁取得硕士学位，19岁被任命为阿伯丁大学数学系主任，21岁时发表了他的第一本数学著作《构造几何》(1720)。马克劳林在数学史上最突出的贡献也许是他的名著《流数论》(1742)，在此书中他有力地捍卫了牛顿，驳斥了贝克莱的攻击。当然，最重要的是在此书中，马克劳林第一次对牛顿的方法作了系统、明晰的解说。书中可以看到以他的名字著称的零点展开式：

18世纪英国数学界的代表人物还有棣莫弗(Abraham De Moivre, 1667—1754)、兰登(John Landen，1719—1790)、辛普森(Thomas Simpson， 1710—1761)。可是他们都没有达到欧洲大陆同行的水平。被奉为金科玉律的牛顿学说为英国数学压上了一个沉重的包袱，优先权争议的“胜利”满足了英国的自尊心，但却使他们对莱布尼兹符号体系持有一种冷淡的态度，而只是墨守牛顿《原理》中的几何方法，这是极为不幸的，严重阻碍了英国数学的发展。拉兰得(Lalande)曾悲叹到：1764年以后，整个英国没有一个第一流的分析学家。狭隘的民族自尊心蒙蔽了英国人的眼睛，而不愿看到莱布尼兹方法在欧洲大陆的迅速进步，所以，整个18世纪的英国数学界几乎笼罩在牛顿的阴影之下。

3.欧拉：分析的化身

“欧拉计算毫不费力，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样”，这种评价并不是对欧拉无与伦比的数学才能的夸大。欧拉在世时发表了530本著作和论文，死后留下的手稿丰富了此后47年的彼得堡科学院学报。他的不朽著作合为包括886本书和论文的《欧拉全集》，由瑞士自然科学学会从1907年开始出版，预计出成73本大四开本。

欧拉 1707年4月15日诞生于瑞士巴塞尔，父亲是一位牧师。15岁时欧拉听从父亲的旨意进巴塞尔大学学习神学。不过，他却迷上了约翰·伯努利的数学讲座。在伯努利的影响下，数学挤走了神学，而且欧拉在数学上的天赋也引起了伯努利的关注，伯努利让他每星期六下午到家里，单独给他投课。约翰的两个儿子非常喜爱欧拉的勤奋和突出的才能，他们成了好朋友，经常一起讨论数学问题。

1727年，19岁的欧拉关于船桅杆的数学问题获得了巴黎科学院提名奖，从而在欧洲数学界崭露头角。同年，圣彼得堡科学院向欧拉发出了邀请。在圣彼得堡，欧拉的卓越工作促进了俄国数学的发展。1741年，欧拉应弗里德里克大帝的邀请担任柏林科学院院士，1766年又在叶卡捷琳娜女皇的热情邀请下重回圣彼得堡。俄国人民深深地爱戴欧拉，以至于俄国数学史家总是将欧拉当做俄国数学家。

由于过度工作，欧拉在28岁的时候右眼就已经失明。1766年回到俄国后，严酷的寒冬使他左眼的视力急剧衰退，最终双目失明。厄运还没有结束，1771年，圣彼得堡突起大火，殃及欧拉的住宅，一位仆人冒着生命危险将欧拉从大火中背了出来，可是欧拉的书库、大量的文稿和研究成果却全部化为灰烬。

沉重的打击并没使欧拉屈服，他以惊人的毅力与黑暗作斗争。他让自己的女儿记下他的口述。欧拉超常的记忆力和非凡的心算能力，使得他仍然以惊人的速度发表数学论文。

今天，我们几乎可以在数学的任何分支中都看到欧拉的名字：初等几何中的欧拉线，立体几何中的欧拉定理，解析几何中的欧拉变换，微积分中的欧拉积分，数论中的欧拉函数，等等，真是令人目不暇接。你可能想不到，最常见的数学常数e，就是以欧拉名字的第一个字母命名的。欧拉关于微积分的5部里程碑式著作是：《无穷小分析引论》(1748)，《微分学原理》(1755)，《积分学原理》(1768-1770)，《求证最大和最小值曲线的方法，或等周问题的解答》(1741)，《力学、或运动学分析》(1736)。

大量的数学研究并没有牺牲欧拉的天伦之乐。欧拉一生结过两次婚，是13个孩子喜爱的父亲，他和孩子们一起做游戏，一起念诵《圣经》。1783年9月18日的傍晚，欧拉请朋友吃晚饭。当时天王星刚刚被发现，吃饭时欧拉向朋友介绍了对它的轨道的计算。然后喝茶，在逗孙子玩的时候，欧拉突然中风，烟斗从他的手上掉了下来，他说了一句“我要死了……”于是，“他停止了计算，也停止了生命”。

虽然欧拉没有能像笛卡尔、牛顿那样为数学开辟出撼人心灵的新分支，但是没有一个人像他那样多产、像他那样巧妙地把握数学，也没有一个人像他那样利用代数、几何和分析的手段产生那么多令人钦佩的结果，他为数学增添了无限的光彩，在微积分、微分方程、函数理论、变分法、无穷级数、坐标几何、微分几何以及数论等领域都留下了永恒的成就。伯努利后来在给欧拉的一封信中这样赞许他：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而您正在将它带大成人。”欧拉虽然没有为学生讲过课，可是他的书对欧洲数学产生了深远的影响。拉格朗日常说：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。”欧拉被誉为“分析的化身”。

4.拉格朗日：一座高耸的金字塔

与欧拉并称为18世纪第一流数学家的是拉格朗日。他出生于意大利的都灵，最初的兴趣是古典文学，虽然读过欧几里得和阿基米德的著作，它们似乎并没有给他留下多少印象。一次偶然的机会，拉格朗日读到了哈雷写的一篇称赞微积分学比希腊人的综合几何方法优越的文章，他完全被迷住了。在很短的时间内，他完全靠自学掌握了他那个时代的微积分。16岁时，拉格朗日担任都灵皇家炮兵学院的数学教授，然后开始了他在数学上的辉煌历程。

在都灵，拉格朗日的身边聚集起一帮有才气的年轻人，他们成立了一个研究会，后来这个学会发展成为都灵科学院。科学院的第一卷论文集于1759年出版，当时拉格朗日才23岁。文集中有一篇拉格朗日关于极大和极小的论文，他在这篇论文中允诺要在一项工作中讨论这样一个题目——用分析的方法推出包括固体力学和流体力学在内的全部力学。这正是他后来的杰作《分析力学》，拉格朗日所说的方法就是今天所谓的“变分法”。他在这个方向上的研究博得了欧拉的赞赏。

拉格朗日19岁时把自己关于变分问题的研究寄给欧拉，欧拉立刻就看出了它们的价值，他鼓励这个才气焕发的年轻人继续做下去。当四年后，拉格朗日写信把解决等周问题的真正方法告诉欧拉时，欧拉回信称赞说“新方法使他得以克服他的困难”，但没有立刻发表寻求已久的解答，一直等到拉格朗日能够先发表他的解答。而且，欧拉在发表他的著作时，着意说他是怎样被困难挡住了，在拉格朗日指出克服困难的途径之前，它们是难以越过的障碍。欧拉以其博大的胸怀举荐年轻的拉格朗日成为数学史上隽永的美谈。果然，拉格朗日的工作引起欧洲数学界的注意，23岁时他当选为柏林科学院的外籍院士。1766年，当欧拉去了圣彼得堡后，弗里德里克大帝向拉格朗日发出了邀请：欧洲最伟大的国王身边要有欧洲最伟大的数学家。拉格朗日接受了邀请，成了柏林科学院物理一数学部主任，以后的20年里，科学院的学报上发表了他的一篇接着一篇的伟大论文。

1787年，路易十六向拉格朗日发出了邀请，希望他能作为法国科学院院士在巴黎继续他的数学工作。当拉格朗日到达巴黎时，他受到王室和科学院的最大尊敬，在卢浮宫给他安排了舒适的寓所。1789年法国革命爆发，拉格朗日不顾政治形势的动荡，接受了新建立的高等师范学校教授的职位，后来又担任巴黎理工学校的教授，亲自制定数学课程，为年轻的学生们上课，向学生们展示了新数学的力量。1797年，他的主要著作《解析函数论》出版，4年后又出版了《函数的微积分学教程》。当然，拉格朗日的代表作还是他的《分析力学》(1788)，这部书体系优美和谐，以至于哈米尔顿赞叹它是一部“数学上莎士比亚的科学诗篇”，后来又有一位作家说这部书“把字宙描写成为一个由数字和方程组成的有节奏的旋律”。

拉格朗日对数学研究有很深的感悟，他说过：“一个数学家对他自己的工作明白到这样的程度，向早晨在街上遇到的第一个人说明它，并给他以深刻印象时，才能说完全理解了它。”这已被人称为“拉格朗日原则”而传颂到今天。

拉格朗日的工作对以后几个世纪的数学所遵循的路线产生了深远的影响，此后100多年的时间里，几乎没有什么发现不是直接和他的研究有联系的。拿破仑与他那个时代的许多数学家都很亲近，他对拉格朗日的评价是：

“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”